Question

Un rectángulo de diagonal 25 cm tiene un área de 300 cm. Determine las dimensiones del rectángulo

Answer 1

Comenzaremos diciendo que el rectángulo tiene como fórmula de su área:

$A=b*h$ siendo "b" su base y "h" su altura. Nos dicen el total de su área, por lo que podemos escribir:

$300cm^{2}=b*h$

Ahora en segunda instancia nos dicen que su diagonal mide 25 cm. Pero si vemos un rectángulo, la diagonal lo que hace es dividir al rectángulo en dos triángulos, y que la diagonal sería de por sí, la hipotenusa del triángulo. Por pitágoras podemos afirmar que:

$25^{2}=b^2}+h^{2}$ Siendo la base y la altura los catetos del triángulo.

De la primera ecuación, podemos despejar "b" o "h" y reemplazar en la segunda ecuación, es decir:

$300=b*h\\\frac{300}{h}=b \\\\b=\frac{300}{h\\} \\\\25^{2}=b^{2}+h^{2}\\625=(\frac{300}{h} )^{2}+h^{2}\\\\625=\frac{90000}{h^2} +h^{2}\\\\625=\frac{90.000+h^{2}*h^{2}}{h^{2}} \\\\625=\frac{90.000+h^{4}}{h^{2}}\\\\625h^{2}=90.000+h^{4}\\0=h^{4}-625h^{2}+90.000\\0=(h^{2}-400)(h^{2}-225)\\0=(h-20)(h+20)(h-15)(h+15)\\\\\\(1)h-20=0\\h=20\\\\(2)h+20=0\\h=-20\\\\(3)h-15=0\\h=15\\\\(4)h+15=0\\h=-15$

Pero sabemos que la altura es un valor positivo, es decir que la altura puede ser 20 cm o 15 cm. Ahora hallaremos la base, en función de las alturas halladas. Usaremos la primera ecuación:

$300=b*h\\(1)300=b*(20)\\\frac{300}{20} =b\\\\b=15 cm\\\\(2)300=b*(15)\\\frac{300}{15} =b\\\\b=20$

Finalmente concluimos que el rectángulo puede tener:

20 cm de altura y 15 cm de base, ó 15 cm de base y 20 cm de altura.

Saludos!