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SOLUCIÓN :
1 ) L=? a=? rectángulo .
Área max =?
P= 40m
A= L*a = L* (20 - L) m = 20L-L2 → A' = 20-2L =0
L= 10 m
2L+2a = 40m
L+a = 20 m
a = 20m - L = 20 m -10 m = 10 m
Amax = 10 m*10 m= 100m²
2) L=? a =?
Perimetro minimo .=?
A = 100cm²
A = L*a = 100 cm² → a = 100/L
P= 2L +2a = 2* 100/L + 2L = 200/L + 2L → P' = -200/L² + 2 =0
200/L²=2 → L= √(100 )= 10cm .
a = 100/L = 100/10 = 10 cm.
3) L=? h=?
V = 4 m³
Costo mínimo.
V = Ab*h = L²*h
4 = L²*h → h = 4/L²
Costo = x */ m³* V = 4x , donde x es el valor del m3.
4) L=? h=?
Vmax
A = 12m²
A = L²+ 4L*h = 12 h = (12-L²)/4L
V = L²* h = L²* ( 12-L²)/4L = 3L - L³/4 → V' = 3 - 3L²/4 =0
3L²/4 = 3 → L²= 4 → L = 2 m h = ( 12- 4)/4*2 = 1m
L = 2m y h = 1m
5) L=? a =? rectángulo .
A max
inscribirse en una circunferencia de r= 5 cm
A = L* a
( 2r)² = L² + a² → ( 10 cm)² = L²+a²= 100cm²→ a = √(100-L²)
A = L* √(100-L²)
A' = 1/2* ( L²*(100-L²))∧(-1/2 ) * ( 200L -4L³ ) =0
L = √50 m =7.071 m
a =√ ( 100- (√50)²) = √50 m= 7.071 m .
6) L=? a =?
P= 50 m 2a+ 2L= 50 a + L = 25 a = 25- L
A max
A = L*a = L* ( 25- L)= 25L - L²→ A' = 25- 2L =0 → L = 25/2 = 12.5 m .
a = 25- 25/2 = 12.5 m .
L= 12.5 m y a = 12.5 m .
7) b =? triangulo rectángulo .
h =?
Hipotenusa = 5 m b² + h² = 25m² → h² = 25 - b²
Vcono max
V =π*r²*H/3 = π* (h)²*b →V = π* ( 25- b²)* b= 25π*b -π*b³
V' = 25π - 3πb²=0 → b = √(25/3)= 2.88 m .
h²= 25 - 25/3→ h = 4.08 m.
Las dimensiones del triangulo rectángulo son aproximadamente : catetos 2.88m y 4.08 m y la hipotenusa 5m .
8) a=? b =? catetos y c = ? hipotenusa triangulo rectángulo
A max
c = 5m c² = a² + b² → 25 = a² + b² → a= √( 25 - b²)
A = base * altura /2 = a*b/2= √(25- b² ) * b/2
A' = 1/2* (b²(25-b²))∧-1/2 * ( 50b - 4b³)
( 50b - 4b³ )/2*√(b²*(25- b²)) =0
50b - 4b³ =0
4b² = 50
b² = 50/4
b =√(25/2)= 3.53 m
a = √25 - (√25/2 )² = 3.53 m.
Las dimensiones del triangulo rectángulo son :
catetos a = 3.53 m b = 3.53 m y la hipotenusa c = 5 m .
9 ) valor máximo =?
y = 25 - x²
xv = - 0/2*(-1 )=0
yv = 25- 0² = 25
valor máximo = ( 0 , 25 )
y' = -2x =0 → x=0
10) distancia = d=?
y = x+ 1 origen de coordenadas = (0,0)
x - y + 1=0
d = 1* 0 - 1*0 + 1/√1² +(-1)²
d = 1/√2 *√2/√2 = √2/2 = 0.7071 .
11) x + y =120 y = 120 - x
x*y² = máximo
x * ( 120 -x )² → se procede a derivar resulta :
1* (120-x)² + x* 2*( 120 - x)* ( 0-1) = 0
(120 - x )² - 2x* (120 - x)=0
2x* (120 -x ) = ( 120 - x)²
2x = 120 -x
3x = 120
x = 120/3 = 40 .
y = 120 -x = 120 -40 = 80 .
x = 40 y = 80 .
12) x+ y = 21 y = 21 - x
x²*y sea mínimo .
x²* ( 21 - x)= 21x²- x³ → se deriva y luego se iguala a cero .
la derivada es:
42x - 3x² =0 → 3x² = 42x→ 3x =42 → x = 42/3 = 14
y = 21-x = 21-14 = 7
Para que x²*y sea mínimo x = 14 y = 7
13) y min =?
y = 14x² + 2
xv = - o/2* 14 =0
y = 14*0² + 2 = 2
El valor de y min = 2 .
14) x* y = 20 y la suma de sus ????no sale mas en la hoja de ejercicios .