Identificar los extremos de la función reconociendo su forma dada o su forma después de completar cuadrados. Verificar los resultados empleando derivadas parciales para localizar los puntos críticos y probar si son extremos relativos.
f ( x, y ) = 5 – ( x - 3 )^2 - ( y + 2 )^2
Respuestas
Respuesta:
f(x,y) = 5-(x²-6x+9)-(y²+4y+4)
Para determinar los puntos criticos y extremos relativos primero vamos a calcular las derivadas parciales de la función:
- Derivadas de primer orden:
df(x,y)/dx = -2x+6
df(x,y)/dy = -2y+4
- Derivadas de segundo orden:
d²f(x,y)/dx = -2
d²f(x,y)/dy=-2
- Derivada cruzada:
d²f(x,y)/dx dy = 0
Ahora que ya conocemos las derivadas parciales y cruzadas, vamos a buscar los puntos críticos, igualando las derivadas de primer orden a cero:
df(x,y)/dx = -2x+6=0 -------> x=3
df(x,y)/dy = -2y+4 =0------> y=2
Tenemos como punto critico P(5,6)
Ahora estudiaremos si en el mismo existe un máximo o un mínimo:
Calculamos el discriminante:
D= fxx*fyy-fxy²
D= -2*-2 - 0 =4
En este caso tanto las derivadas de segundo orden como el discriminante son constante, por lo tanto:
Sabemos que el discriminaste es positivo y las derivadas de segundo orden son negativos, por lo tanto: podemos concluir que: Es un máximo local!