Question

Urgente!!.. Alguien que por favor me ayude con este límite es URGENTE por fa...

Answer 1

$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}2x-2 & \quad x \leq 1 \\A(x^2-3x+2)(x-B) & \quad 1<x<2\\\frac{x}{2}-1 & \quad x \geq 2\end{array}\right.$

Los puntos necesarios para evaluar su continuidad se encuentran en x=1, x=2. La derivada de la funcion debe ser igual por la izquierda y la derecha de cada uno de esos puntos.

En el punto x=1, derivada por la izquierda sera

$f(x)=2x-2\\f'(x)=2\\f'(1)=2$

la derivada por la derecha sera:

$f(x)=A(x^2-3x+2)(x-B)=Ax^3-ABx^2-3Ax^2+3ABx+2Ax-2AB\\f'(x)=3Ax^2-2ABx-6Ax+3AB+2A\\\\f'(1)=3A-2AB-6A+3AB+2A=AB-A$

Como dijimos, la derivada debe ser igual por izquierda y derecha, entonces:

$2=AB-A$  

Ahora en el punto x=2, la derivada por la derecha sera:

$f(x)=\frac{x}{2}-1\\f'(x)=\frac{1}{2}\\f'(2)=\frac{1}{2}$

la derivada por la izquierda sera:

$f(x)=Ax^3-ABx^2-3Ax^2+3ABx+2Ax-2AB\\f'(x)=3Ax^2-2ABx-6Ax+3AB+2A\\\\f'(1)=12A-4AB-12A+3AB+2A=2A-AB$

las derivadas por izquierda y derecha deben ser iguales:

$\frac{1}{2}=2A-AB$

ahora podemos conocer los valores de A y B con este par de ecuaciones:

$2=AB-A\\\frac{1}{2}=2A-AB\\\\A=AB-2=\frac{AB}{2}+\frac{1}{4}\\4AB-8=2AB+1\\AB=\frac{9}{2}\\\\A=AB-2=\frac{5}{2}\\B=\frac{9}{2A}=\frac{9}{5}\\\\\boxed{A=\frac{5}{2}}\\\\\boxed{B=\frac{9}{5}}$

Adjunto una imagen graficando la funcion con esos valores de A y B