Question

Evaluar las siguientes integrales impropias y grafíquelas en GeoGebra para determinar si
convergen o divergen.

∫0^∞〖x^2 e^(-x) dx〗

Answer 1

RESPUESTA:

Podemos observar que el dominio de esta función son todos los reales, por ende es impropia solamente en el infinito que representa su limite superior, tenemos entonces:

I = ∫x²·e⁻ˣ dx

Procedemos a resolver la integral por parte, tenemos que:

∫u·v = u·v - ∫ v·du

Procedemos a seleccionar el cambio, tenemos:

• u = x² → du = 2x dx
• v = ∫e⁻ˣ dx = -e⁻ˣ

Planteamos la integral y tenemos que:

I = x²·(-e₋ˣ) - ∫ -e⁻ˣ·2x dx

Simplificamos y tenemos que:

I = x²·(-e₋ˣ) + 2∫ x·e⁻ˣ dx

Ahora debemos volver a aplicar por parte, tenemos que:

I₂ =  ∫ x·e⁻ˣ dx

• u = x → dx = du
• v = ∫ e⁻ˣ dx  entonces  v = -e⁻ˣ

Sustituimos para encontrar nuestra segunda integral y tenemos:

I₂ = -x·e⁻ˣ - ∫-e⁻ˣ dx

I₂ = -x·e⁻ˣ - e⁻ˣ

Sustituimos en la primera ecuación de la integral y tenemos que:

I = x²·(-e₋ˣ)  - 2x·e⁻ˣ - 2e⁻ˣ

Sacamos factor común e⁻ˣ y tenemos:

I = -e⁻ˣ ·(x² + 2x + 2)

Ahora evaluamos en los limites superiores e inferiores, recordemos que el limite superior es el infinito por tanto se procede a reemplazarlo por una letra, tenemos:

I = [-e⁻ˣ ·(x² + 2x + 2)] ₀ᵇ

Tenemos:

I =  -e⁻ᵇ ·(b² + 2b + 2)  + e⁰·(0² + 2·0 + 2)

I =  -e⁻ᵇ ·(b² + 2b + 2) + 2

Ahora sacamos el limite cuando b tiende a infinito.

lim(b-∞) -e⁻ᵇ ·(b² + 2b + 2) + 2

Procedemos a escribir de forma distinta el limite, tenemos que:

lim(b-∞) (b² + 2b + 2)/(-eᵇ)  + 2

Podemos observar que la función tiene a infinito y que la función exponencial crece más rápido que la función parabólica, por ende el limite tiene a cero, entonces:

I = 0 + 2

I = 2

La función converge hacia dos, debido a que la función exponencial crece más rápido. En la gráfica se puede observar que al infinito tiende a cero pero existe una cantidad de área.