Determine la linealización de L(x, y) de la función (x,y ) en p0.
Luego determine una cuota superior para la magnitud |E| del error
de la aproximación f(x,y ) ≈ L(x,y ) en el rectángulo .
Respuestas
RESPUESTA:
Para linealizar hay que aplicar la siguiente ecuación, tenemos que:
L(x,y) = f(x₀,y₀) + fx(x₀,y₀) ·(x-x₀) + fy(x₀,y₀)·(y-y₀)
Buscaremos inicialmente la función evaluada en el punto, tenemos:
f(2,2) = 0.5(2)² + (2)(2) + 0.25(2)² + 3(2) - 3(2) + 4 = 11
Ahora derivamos respecto a x y evaluamos, tenemos:
fx = x + y + 3 ∴ fx(2,2) = 2 + 2 +3 = 7
fy = x + (1/2)· y -3 ∴ fy(2,2) = 2 + 1/2 · 2 - 3 = 0
Ahora encontramos la linealización, tenemos:
L(x,y) = 11 + 7·(x-2) + 0·(y-2)
L(x,y) = 7x -3
Ahora procedemos a calcular el error, el cual tiene la siguiente formar:
E(x,y) = 1/2 · M · |x-x₀| · |y-y₀|
De tal manera que debemos buscar el valor máximo (M) para ello buscaremos las segundas derivadas, recordemos que ya tenemos la primera derivadas, tenemos:
- fxx = 1
- fyy = 1/2
- fxy = 1
- fyx = 1
Podemos observar que en este caso el máximo viene siendo M = 1, empleamos la ecuación y tenemos:
E(x,y) = 1/2 · 1 · 0.1 · 0.1
E(x,y) = 0.5 %
Por tanto el modulo del error máximo viene dado por el 0.5 %.
NOTA: Recordemos que por nomenclatura fx significa la función derivada respecto a x, fy es la función derivada respecto a y, fxx es la segunda derivada respecto a x, fyy es la segunda derivada respecto a y, y finalmente fxy y fyx son derivadas cruzadas.
Gedo, ayúdame con una igual. Por favor!