Question

Identificar los extremos de la función reconociendo su forma dada o
su forma después de completar cuadrados. Verificar los resultados
empleando derivadas parciales para localizar los puntos críticos y
probar si son extremos relativos.

Answer 1

Respuesta:

f(x,y) =-x²-y²+10x+12y-64.

• Para determinar los puntos criticos y extremos relativos primero vamos a calcular las derivadas parciales de la función:

• Derivadas de primer orden.

df(x,y)/dx = -2x+10

df(x,y)/dy = -2y+12

• Derivadas de segundo orden.

d²f(x,y)/dx = -2

d²f(x,y)/dy=-2

• Derivada cruzada.

d²f(x,y)/dx dy = 0

• Ahora que ya conocemos las derivadas parciales y cruzadas, vamos a buscar los puntos críticos, igualando las derivadas de primer orden a cero:

df(x,y)/dx = -2x+10=0 -------> X= 5

df(x,y)/dy = -2y+12------------>Y=6

Entonces el punto crítico es P(5,6)

• Ahora veremos si es un máximo, mínimo o punto de silla.

Calculamos el discriminante:

D= fxx*fyy-fxy²

D= -2*-2-0=4

En este caso tanto las derivadas de segundo orden como el discriminante son constante, por lo tanto:

Sabemos que el discriminaste es positivo y las derivadas de segundo orden son negativos, por lo tanto: podemos concluir que: Es un máximo local!