Tres personas, A, B, C, quieren comprar las siguientes cantidades de fruta: A: 2 kg de peras, 1 kg de manzanas y 6 kg de naranjas. B: 2 kg de peras, 2 kg de manzanas y 4 kg de naranjas. C: 1 kg de peras, 2 kg de manzanas y 3 kg de naranjas. En el pueblo en el que viven hay dos fruterías F1 y F2. En F1, las peras cuestan 1.5 euros/ kg, las manzanas 1 euro/ kg, y las naranjas 2 euros/kg. En F2, las peras cuestan 1.8 euros/kg, las manzanas 0,8 euros/kg, y las naranjas 2 euros / kg. ● Hallar la inversa de la matriz donde se representó la cantidad de fruta (peras, manzanas y naranjas) que quiere comprar cada persona (A, B, C), por Gauss Jordán y luego por determinantes utilizando la fórmula
Respuestas
SOLUCIÓN :
La matriz que expresa la cantidad de fruta ( peras, manzanas y naranjas) que quiere comprar cada persona(A , B , C ) es :
P M N
A Г 2 1 6 ⁻I
B I 2 2 4 I
C I_ 1 2 3 _I
Entonces la matriz inversa por el método de determinantes es:
det de la matriz = [( 12+4+24)-(12+6+16)]= 6
Matriz de cofactores = -2 -2 2
[ 9 0 3 ]
- 8 4 2
matriz traspuesta de la de cofactores :
-2 9 -8
[ -2 0 4 ]
2 3 2
la matriz inversa solicitada por determinantes es :
-1/3 3/2 -4/3
[ -1/3 0 2/3 ]
1/3 - 1/2 1/3
Ahora se calcula la matriz inversa por el método de Gauss Jordan :
2 1 6 1 0 0
2 2 4 0 1 0
1 2 3 0 0 1
F2 = F2- F1
2 1 6 1 0 0
0 1 -2 -1 1 0
1 2 3 0 0 1
F3= F3 - F1/2
2 1 6 1 0 0
0 1 -2 -1 1 0
0 3/2 0 -1/2 0 1
F2↔F3
2 1 6 1 0 0
0 3/2 0 -1/2 1 1
0 1 -2 -1 1 0
F3= F3 - (2/3)*F2
2 1 6 1 0 0
0 3/2 0 -1/2 0 1
0 0 -2 -2/3 1 -2/3
la matriz inversa por el método de Gauss Jordan es :
- 1/3 3/2 - 4/3
[ -1/3 0 2/3 ]
1/3 -1/2 1/3 .