Evaluar las siguientes integrales impropias y grafiquelas en Geogebra para determinar si convergen o divergen.
4. ∫_0^∞ x/e^(-x) dx
Respuestas
RESPUESTA:
Tenemos la siguiente integral impropia.
∫x/e⁻ˣ dx Evaluada desde [0,+∞)
Siempre que tengamos una impropia debemos buscar el dominio de la función.
f(x) = x/e⁻ˣ
Podemos observar que la función tiene como dominio todos los reales. Así que nuestro único inconveniente es el infinito.
Ahora, procedemos a resolver la integral, la escribimos de otra forma.
∫x·eˣ dx
Aplicamos un proceso de por parte y tenemos:
∫u·v = u·v -∫v·du
Seleccionamos los parámetros.
- u = x → du = dx
- v = ∫eˣ dx → v = eˣ
Tenemos entonces que:
I = xeˣ - ∫eˣ dx
I = xeˣ - eˣ
Ahora debemos evaluarla en los limites de la integrales, pero tenemos que un limite es infinito, por tanto haremos un pequeño cambio.
a = ∞
I =[ xeˣ - eˣ ]₀ ᵃ
Evaluamos limite superior menos limite inferior:
I = a·eᵃ- eᵃ -(0·e⁰-e⁰)
I = a·eᵃ- eᵃ + 1
Ahora debemos sacar el limite a nuestra expresión cuando a → ∞, tenemos:
(limₐ.∞ a·eᵃ- eᵃ) + 1
Sacamos factor común y tenemos que:
(limₐ.∞ eᵃ(a-1)) + 1
Para resolver el limite debemos reescribir el limite como:
(limₐ.∞ (a-1)/e⁻ᵃ) + 1
Ahora aplicamos L'Hopital en el limite y tenemos que:
(limₐ.∞ 1/-e⁻ᵃ) + 1 = 1
Por tanto nuestra integral impropia es convergente y converge al número 1.
NOTA: Recordemos que el método de L'Hopital se usa para limites (0/0) y (∞/∞), se aplica derivando el número y denominador como funciones independientes.
Por otra parte, el limite de una constante es la constante.
