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2
Primero debemos simplificar la funcion a integrar.
sabemos que
![\csc(4x { }^{2} ) = \frac{1}{ \ \sin(4 {x}^{2} ) } \csc(4x { }^{2} ) = \frac{1}{ \ \sin(4 {x}^{2} ) }](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Ccsc%284x+%7B+%7D%5E%7B2%7D+%29++%3D++%5Cfrac%7B1%7D%7B+%5C+%5Csin%284+%7Bx%7D%5E%7B2%7D+%29+%7D+)
ademas sabemos que
![\cot(4 {x}^{2} ) = \frac{ \cos(4 {x}^{2} ) }{ \sin(4 {x}^{2} ) } \cot(4 {x}^{2} ) = \frac{ \cos(4 {x}^{2} ) }{ \sin(4 {x}^{2} ) }](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Ccot%284+%7Bx%7D%5E%7B2%7D+%29++%3D++%5Cfrac%7B+%5Ccos%284+%7Bx%7D%5E%7B2%7D+%29+%7D%7B+%5Csin%284+%7Bx%7D%5E%7B2%7D+%29+%7D+)
reescribimos la función a integrar como:
![∫ \frac{ \cos(4 {x}^{2} ) }{ { \sin(4 {x}^{2} ) }^{2} } xdx ∫ \frac{ \cos(4 {x}^{2} ) }{ { \sin(4 {x}^{2} ) }^{2} } xdx](https://tex.z-dn.net/?f=%E2%88%AB+%5Cfrac%7B+%5Ccos%284+%7Bx%7D%5E%7B2%7D+%29+%7D%7B+%7B+%5Csin%284+%7Bx%7D%5E%7B2%7D+%29+%7D%5E%7B2%7D+%7D+xdx)
Luego aplicamos el método de integracion por sustitución, diciendo
![u = 4 {x}^{2} u = 4 {x}^{2}](https://tex.z-dn.net/?f=u+%3D+4+%7Bx%7D%5E%7B2%7D+)
derivamos ambos lados
![\frac{du}{dx} = 8x \frac{du}{dx} = 8x](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cfrac%7Bdu%7D%7Bdx%7D++%3D+8x)
despejando dx
![dx = \frac{du}{8x} dx = \frac{du}{8x}](https://tex.z-dn.net/?f=dx+%3D++%5Cfrac%7Bdu%7D%7B8x%7D+)
si hacemos el cambio de variable en la función a integrar tenemos
![∫ \frac{ \cos(u) }{ { \sin(u) }^{2}8 x} xdu ∫ \frac{ \cos(u) }{ { \sin(u) }^{2}8 x} xdu](https://tex.z-dn.net/?f=%E2%88%AB+%5Cfrac%7B+%5Ccos%28u%29+%7D%7B+%7B+%5Csin%28u%29+%7D%5E%7B2%7D8+x%7D+xdu)
simplificamos
![∫ \frac{ \cos(u) }{8 { \sin(u) }^{2} } du ∫ \frac{ \cos(u) }{8 { \sin(u) }^{2} } du](https://tex.z-dn.net/?f=%E2%88%AB+%5Cfrac%7B+%5Ccos%28u%29+%7D%7B8+%7B+%5Csin%28u%29+%7D%5E%7B2%7D++%7D+du)
volvemos a hacer integracion por sustitucion ( o cambio de variable)
![z = \sin(u) z = \sin(u)](https://tex.z-dn.net/?f=z+%3D++%5Csin%28u%29+)
derivamos
![\frac{dz}{du} = \cos(u) \frac{dz}{du} = \cos(u)](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cfrac%7Bdz%7D%7Bdu%7D++%3D++%5Ccos%28u%29+)
despejamos du
![du = \frac{dz}{ \cos(u) } du = \frac{dz}{ \cos(u) }](https://tex.z-dn.net/?f=du+%3D++%5Cfrac%7Bdz%7D%7B+%5Ccos%28u%29+%7D+)
y ahora si reescribimos la función a integrar
![\frac{1}{8} ∫ \frac{ \cos(u) }{ { z }^{2} \cos(u) dz} \frac{1}{8} ∫ \frac{ \cos(u) }{ { z }^{2} \cos(u) dz}](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cfrac%7B1%7D%7B8%7D+%E2%88%AB+%5Cfrac%7B+%5Ccos%28u%29+%7D%7B+%7B+z+%7D%5E%7B2%7D+%5Ccos%28u%29+dz%7D+)
simplificamos
![\frac{1}{8} ∫ \frac{1}{ {z}^{2} } dz \frac{1}{8} ∫ \frac{1}{ {z}^{2} } dz](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cfrac%7B1%7D%7B8%7D+%E2%88%AB+%5Cfrac%7B1%7D%7B+%7Bz%7D%5E%7B2%7D+%7D+dz)
y esta funcion si la sabemos integrar, eso es lo mismo que
![\frac{1}{8} ∫ {z}^{ - 2} dz \frac{1}{8} ∫ {z}^{ - 2} dz](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cfrac%7B1%7D%7B8%7D+%E2%88%AB+%7Bz%7D%5E%7B+-+2%7D+dz)
eso sera igual a
![\frac{1}{8} ( - \frac{1}{z} ) + c \frac{1}{8} ( - \frac{1}{z} ) + c](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cfrac%7B1%7D%7B8%7D+%28+-+%5Cfrac%7B1%7D%7Bz%7D+%29+%2B+c)
y sustituimos los cambios de variable que hicimos
![- \frac{1}{8 \sin(u) } + c - \frac{1}{8 \sin(u) } + c](https://tex.z-dn.net/?f=+-++%5Cfrac%7B1%7D%7B8+%5Csin%28u%29+%7D++%2B+c)
y de ahora reemplazamls a u
Esta integral será igual a:
![= - \frac{1}{8 \sin(4 {x}^{2} ) } + c = - \frac{1}{8 \sin(4 {x}^{2} ) } + c](https://tex.z-dn.net/?f=+%3D++-++%5Cfrac%7B1%7D%7B8+%5Csin%284+%7Bx%7D%5E%7B2%7D+%29+%7D++%2B+c)
sabemos que
ademas sabemos que
reescribimos la función a integrar como:
Luego aplicamos el método de integracion por sustitución, diciendo
derivamos ambos lados
despejando dx
si hacemos el cambio de variable en la función a integrar tenemos
simplificamos
volvemos a hacer integracion por sustitucion ( o cambio de variable)
derivamos
despejamos du
y ahora si reescribimos la función a integrar
simplificamos
y esta funcion si la sabemos integrar, eso es lo mismo que
eso sera igual a
y sustituimos los cambios de variable que hicimos
y de ahora reemplazamls a u
Esta integral será igual a:
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