Question

Integre las siguientes funciones aplicando el método de integración por fracciones parciales:

f(x) = (2x + 3) / (12x
^2

- 23x + 10)

Answer 1

Primero escribamos la fracción

                              $f(x)=\dfrac{2x+3}{12x^2-23x+10}$

Vemos que es propia. Luego procederemos a la factorización del denominador

$12x^2-23x+10=(3x - 2)(4x - 5)\\ \\ \\</p><p>f(x)=\dfrac{2x+3}{(3x - 2)(4x - 5)}=\dfrac{a}{3x - 2}+\dfrac{b}{4x - 5}\\ \\ \\</p><p>2x+3=(4a+3b)x-5a-2b\\ \\</p><p>\begin{cases}</p><p>4a+3b=2\\</p><p>-5a-2b=3</p><p>\end{cases}\\ \\ \\</p><p>a=-\dfrac{13}{7}\wedge b=\dfrac{22}{7}\\ \\ \\</p><p>f(x)=-\dfrac{\frac{13}{7}}{3x - 2}+\dfrac{\frac{22}{7}}{4x - 5}$

Integrando...

$\displaystyle</p><p>\int f(x)~dx=\int -\dfrac{\frac{13}{7}}{3x - 2}+\dfrac{\frac{22}{7}}{4x - 5}~dx\\ \\ \\</p><p>\int f(x)~dx=-\frac{13}{7}\int \dfrac{1}{3x - 2}~dx+\frac{22}{7}\int\dfrac{1}{4x - 5}~dx\\ \\ \\</p><p>\int f(x)~dx=-\frac{13}{7}\cdot \dfrac{1}{3}\ln |3x-2|+\frac{22}{7}\cdot \dfrac{1}{4}\ln|4x-5|+C_1\\ \\ \\</p><p>\boxed{\int f(x)~dx=-\frac{13}{21}\ln |3x-2|+\frac{11}{14}\ln|4x-5|+C_1}$