Un proyectil se dispara en tal forma que su alcance horizontal es igual a tres veces su altura máxima, determine ¿cuál es el ángulo de proyección?
Respuestas
La ley de movimiento de un proyectil es :
r(t) = (Vocosαt,Vosenαt-gt²/2) m, t en s
Su altura máxima la halla cuando su v= 0 m/s en el Eje Y.
Derivamos respecto al tiempo para hallar su ley de velocidad:
d/dt r = v(t) = (Vocosα; Vosenα-gt) m/s, t en s
0= vosenα -gt
t= vosenα/g
Su alcance máximo se da cuando la posición es 0 en el Eje Y:
Vosenαt-gt²/2= 0
t= 2Vosenα/g
Ahí obtenemos los tiempos donde alcanza su Hmáx y su alcance máximo.
Finalmente reemplazamos esos tiempos en la ley de movimiento:
r(t) = (Vocosαt,Vosenαt-gt²/2) m, t en s
En el eje Y ( reemplazamos el t de Hmáx)
Vosenα(Vosenα/g)-g/2*(Vosenα/g)²
Donde:
Hmax = Vo²sen²α/2g
Ahora el t del alcance máximo reemplazamos en el eje X:
Vocosα(2Vosenα/g)= Alcance máximo
2Vo²cosαsenα/g = Alcance máximo
Vo²sen2α/g = Alcance máximo
Por último, nos dice que el alcance máximo es el triple de la altura máxima.
Sea la altura máxima H y el alcance máximo R:
R=3H
Igualamos sus ecuaciones:
Vo²sen2α/g = 3(Vo²sen²α/2g)
sen2α=3/2* sen²α
2senαcosα=3/2* sen²α
2cosα=3/2*senα
4/3=tanα
Donde el angulo α = 53°