Question

Ayuda urgente por fa! Necesito descomponer en suma de fracciones parciales las siguientes fracciones y no tengo idea de como resolverlas... Necesito la operación y no solo el resultado, se los agradecería mucho:

5x-13\6 x^{2}+13x-5

5x+1\12+x- x^{2}

-11(x+3)\14-3x-2 x^{2}

3x-5\9 x^{2}-12x+4

4 x^{2} +7x-12\x(x+2)(x-3)

Answer 1

Hola :) ,

Para descomponer en fracciones parciales , lo fundamental es factorizar el denominador y observar en cuantos términos se puede descomponer , luego de eso es hallar los coeficientes ,

1) Factorizando el denominador :
6x² + 13x - 5 = 0
[ Con la fórmula de ecuación de 2° grado ] 
6 ( x - 1/3 ) ( x + 15/6)
(x - 1/3)( 6x + 15)

Se observa que se puede factorizar en 2 productos , por lo tanto , la descomposición de fracciones parciales serán 2 términos :

$\frac{5x - 13}{(x - \frac{1}{3})(6x+15) } = \frac{A}{(x - \frac{1}{3})} + \frac{B}{(6x+15)}$

Para hallar los coeficientes A y B , igualamos términos :

$\frac{5x - 13}{(x - \frac{1}{3})(6x+15) } = \frac{A}{(x - \frac{1}{3})} + \frac{B}{(6x+15)} / * (x - \frac{1}{3})(6x+15) \\ \\ 5x - 13 = A*(6x + 15) + B(x - \frac{1}{3}) \\ \\ 5x - 13 = 6x*A + 15A + Bx - \frac{B}{3} \\ \\ Agrupando: \\ 5x - 13 = x(6A + B) + (15A - \frac{B}{3})$

Ahora igualamos coeficientes , el lado izquierdo , el término que acompaña a x es un 5 , por lo tanto :
6A + B = 5
a su vez , el término independiente es -13 , entonces imponemos que 
15A - B/3 = -13

Solo queda resolver el sistema , por reducción:

6A + B = 5     
15A - B/3 = -13 / * 3 

6A + B = 5
45A - B = - 39    +
___________
51A = -34

A = -34/51

Luego ,

6*-34
____  + B = 5
   51
B = 5 + 4
B = 9

Finalmente , la descomposición queda :

$\frac{5x - 13}{(x - \frac{1}{3})(6x+15) } = \frac{-34}{51(x - \frac{1}{3})} + \frac{9}{(6x+15)}$

Para los otros ejercicios el proceso es similar :

2)
Factorizando el denominador :

5x+1\12+x- x^{2} 

12 + x - x² = (4 - x)(x + 3)

Luego tendría que quedar así :

$\frac{5x + 1 }{(4-x)(x+3)} = \frac{A}{4-x} + \frac{B}{x+3} / * Multiplicamos \ por \ (4-x)(x+3) \\ \\ 5x + 1 = A(x+3) + B(4-x) \\ \\ 5x + 1 = x(A-B) + 3A + 4B$

y resolvemos el sistema :

A - B = 5    => *4   =>     4A - 4B = 20
3A + 4B = 1                   3A  + 4B = 1 +
                                     _________
                                        7A = 21  
                                          A = 3

entonces,

3 - B = 5
B = -2

La suma en fracciones parciales es :

$\frac{5x + 1 }{(4-x)(x+3)} = \frac{3}{4-x} - \frac{2}{x+3}$

La 3 , es similar.

La  4 tiene una factorización singular ,

9x²-12x+4 => (3x - 2)²  

La fracción nuevamente se descompone en 2 términos , pero uno de ellos tendrá el mayor grado y el otro se disminuirá en 1 , en otras palabras , si se tiene un denominador (ax - b)^n , se descomponerá en n términos con denominadores (ax -b)^n , (ax-b)^(n-1), (ax-b)^(n-2)... , (ax-b)^1.

Entonces :

$\frac{3x-5}{(3x-2)^2} = \frac{A}{(3x-2)^{2}} + \frac{B}{(3x-2)} / * (3x-2)^{2} \\ \\ 3x - 5 = A + B(3x-2) \\ \\ 3x - 5 = 3x*B + (A - 2B)$

Para que se cumpla la igualdad :

B = 1 ,

A - 2B = - 5

Sabiendo que B=1 :
A - 2 = -5
A = -3

Así :

$\frac{3x-5}{(3x-2)^2} = \frac{-3}{(3x-2)^{2}} + \frac{1}{(3x-2)}$

El último ejercicio es con la misma metodologia , solo que ahora tendrá una descomposición con 3 términos :

$\frac{4x^{2} +7x-12}{x(x+2)(x-3)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+2} + \frac{C}{x-3} / * x(x+2)(x-3) \\ \\ 4x^2 + 7x - 12 = A(x+2)(x-3) + Bx(x-3) + Cx(x+2) \\ \\ 4x^2 + 7x - 12 = A(x^2 - x + 6) + B(x^2 - 3x) + C(x^2 + 2x) \\ \\ 4x^2 + 7x - 12 = x^2(A+B+C) + x(-A - 3B + 2C) - 6A$

Quedan los sistemas :

A + B + C = 4
-A - 3B + 2C = 7
-6A = - 12 

De la última ecuación ,

A = 2 

Reemplazando en las otras dos ecuacipnes :

B + C = 2   / * 3    => 3B + 3C = 6
-3B + 2C = 9        => -3B  + 2C = 9  +
                               ____________

5C = 15
C = 3

Luego ,

B + 3 = 2
B = -1

Así :

$\frac{4x^{2} +7x-12}{x(x+2)(x-3)} = \frac{2}{x} - \frac{1}{x+2} + \frac{3}{x-3}$

La mayoría de los ejercicios de fracciones parciales se hacen así , hay otros casos que se necesita modificar el numerador para hallar una solución logica , por ejemplo un denominador x*(x² + a) , tendrá 2 términos , a/x + bx +c/x²+a, el término en las fracciones parciales dependerá de la multiplicidad del factor y el grado , un ejemplo :

$R(x) = \frac{x^{5} + 6x^{2} + 7x - 1}{(x-3)^{2}(x-1)^{3}(x^2+2x+5)^{3}} \\ \\ R(x) = \frac{A_{1}}{(x-3)} + \frac{A_{2}}{(x-3)^{2}} + \frac{B_{1}}{(x-1)} + \frac{B_{2}}{(x-1)^{2}} + \frac{B_{3}}{(x-1)^{3}} + \frac{C_{1}x + D_{1}}{(x^{2}+2x+5)} \\ \\ + \frac{C_{2}x + D_{2}}{(x^{2}+2x+5)^{2}} + \frac{C_{3}x + D_{3}}{(x^{2}+2x+5)^{3}}$

Te dejo propuesto hallar los coeficientes de :

$\frac{fx + h}{(ax+b)(cx+d)}$


 así sacas como una formula general para las fracciones parciales de ese tipo.



Saludos.