Question

determina la ecuacion general de la circunferencia que pasa por el punto ( 3 , 5 ) y es tangente a la circunferencia x2 + y2 + 7x + y - 10 = 0 en el punto ( 1 , 1 )

Answer 1

Sabemos que la ecuación de una circunferencia viene dada por:

(x-a)²+(y-b)²=r.

De modo que el centro de la circunferencia viene dado por:

(a,b)

Sabemos que si la recta pasa por un punto (1,1) y por el punto (3,5)

De modo que:

(1-a)²+(1-b)²=r

(3-a)²+(5-b)²=r

Igualando las expresiones:

(1-a)²+(1-b)²=(3-a)²+(5-a)²

1-2a+a²+1-2b+b² = 9-6b+a²+25-10b+a²

1-2a+1-2b=9-6a+25-10b

4a+8b=32

• a+2b=8-------------> a= 8-2b

(1-a)²+(1-b)²-r = 1+1+7+1-10

1-2a+1-2b-r=0

1-2(8-2b)+1-2b-r=0

r= 1-16+4b+1-2b

• r= 2b-14

(3-(8-2b))²+(5-b)²=2b-14

(-5+2b)²+(5-b)²=2b-14

25-20b+4b²+25-10b+b²=2b-14

50-30b+b²=2b-14

b²-32b+36=0

b= 30.83

a=-53.66

r= 47.66

Answer 2

Respuesta:

${x}^{2} + {y}^{2} - 8x - 4y + 10 = 0$

Explicación:

De la ecuación que nos da el ejercicio encontramos el centro

$c1\:( - \frac{7}{2} \: \: \: - \frac{1}{2} )$

$mtc1 = mc2t$

$\frac{1 + \frac{1}{2} }{1 + \frac{7}{2} } = \frac{k - 1}{h - 1}$

$\frac{3}{9} = \frac{k - 1}{h - 1}$

obtenemos

$3h - 9k + 6 = 0$

reduciendo y colocando la ecuación

$h - 3k = - 2 \: \: \: ecua1$

igualamos los radios de el punto y la tangente

$\sqrt{ {(h - 3)}^{2} + {(k - 5)}^{2} } = \sqrt{ {(h - 1)}^{2} + {(k - 1)}^{2} }$

resolveremos

$4h + 8k - 32 = 0$

reducimos y colocamos para sistema

$h + 2k = 8 \: \: ecua2$

resolveremos el sistema ecua 1 y 2 multiplicar por 3 a 1 y por 2 a 2

$3h + 6k = 24$

$2h - 6k = - 4$

$5h = 20$

$h = \frac{20}{5} = 4$

sustituimos este valor en

$h + 2k = 8$

obtenemos

$k = 2$

centro de la circunferencia 2 (4,2)

sustituimos estos valores para encontrar el radio en cualquier ecuación de la igualación de radios

$r = \sqrt{ {(4 - 3)}^{2} + {(2 - 5)}^{2} }$

obtenemos

$r = \sqrt{10}$

con los datos realizamos la ecuación que buscamos

${(x - 4)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = {( \sqrt{10} )}^{2}$

${x}^{2} - 8x + 16 + {y}^{2} - 4y + 4 = 10$

${x}^{2} + {y}^{2} - 8x - 4y + 20 - 10 = 0$

${x}^{2} + {y}^{2} - 8x - 4y + 10 = 0$