Question

3. Para cierta población, suponga que l es una función tal que l(x) es el número de personas que alcanzan la edad x en cualquier año. Esta función se llama función de la tabla de vida. Bajo condiciones apropiadas, la integral ∫_x^(x+n)▒l(t)dt proporciona el número esperado de personas en la población que tiene entre x y x+n años, inclusive. Si l(x)=10000√(100-x) determine el número de personas que tienen exactamente entre 36 y 64 años, inclusive. Dé su respuesta al entero más cercano, puesto que la respuestas fraccionarias no tienen sentido

Answer 1

RESPUESTA:  

Esta función I(x) es conocida como función de la tabla de vida. Esta función viene dada por la siguiente expresión:

I(x) = 1000·√(100-x)

Ahora debemos buscar el número de personas que viven entre 36 y 64 años, entonces resolvemos. Para resolver debemos integrar y evaluar en los limites

I = ∫ₐᵇ f(x) dx

Por tanto tenemos que:

I = ∫₃₆⁶⁴  1000·√(100-x) dx

Para resolver la integral vamos a realizar un cambio de variable.

100-x = w² → dx = -2w dw

Sustituimos el cambio:

I = ∫1000·√w² · (-2w dw)

I = ∫1000·w²· -2 · dw

I = -2000w³/3

Devolvemos el cambio de variable

I = -2000·(√100-x)³/3 ]₃₆ ⁶⁴

Evaluamos limite superior y limite inferior.

I = -2000·[(√100-64)³/3 - [√(100-36)]³/3]

I = 197333.33

I ≈197334 personas

Por tanto en ese intervalo de edades viven aproximadamente  197334 personas.