4. Una caja rectangular sin tapa debe tener un volumen de 6 pies3. El costo por pie cuadrado de material es de $3 para el fondo, $1 para el frente y la parte de atrás, y $0.50 para los otros dos lados. Encuentre las dimensiones de la caja de manera que el costo de los materiales sea mínimo.
x = ancho, y = largo , z = altura
Respuestas
RESPUESTA:
Para resolver estos ejercicio debemos plantear las condiciones dadas, tenemos que:
- V = x·y·z = 6 ft³
- Costo = 3·xy + 2·xz + 0.5·2·yz
Ahora de la ecuación de volumen despejamos a una variable, en este caso z y la colocamos en la ecuación de costo, tenemos:
z = 6/xy
C = 3xy + 2x(6/xy) + y(6/xy)
Simplificamos la ecuación de costo y tenemos que:
C = 3xy + 12/y + 6/x
Ahora derivamos respecto a x y respecto a y, tenemos:
dC/dx = 3y -6/x²
dC/dy = 3x - 12/y²
Ahora sabemos que las derivadas parciales deben ser igual a cero, entonces:
3y - 6/x² = 0 → 3yx² - 6 =0
3xy² - 12/y² = 0 → 3xy² - 12 = 0
Resolviendo el sistemas tenemos que x = 1 y y = 2, entonces procedemos a calcular a z, tenemos:
z = 6/xy
z = 6/(1)(2)
z = 3
Por tanto nuestras medidas son x =1, y = 2 y z= 3, todas las medidas en pies, para obtener el costo mínimo.