Question

Como.factorizo o resuelve este

Answer 1

¡Buenas!

$\sqrt[3]{2x-1} + \sqrt[3]{x-1} = 1 \\ \\ \sqrt[3]{2x-1} = 1 - \sqrt[3]{x-1}$

$\textrm{Elevamos ambas partes de la igualdad al cubo.} \\ \\ \boxed{(a-b)^{3} = a^{3} - b^{3} - 3(ab)(a-b)} \\ \\ 2x-1 = 1 - (x-1) -3(\sqrt[3]{x-1})(1 - \sqrt[3]{x-1}) \\ \\ 2x-1 = 1 -x +1 -3 (\sqrt[3]{x-1})(1 - \sqrt[3]{x-1}) \\ \\ 3x = 3 - 3(\sqrt[3]{x-1})(1 - \sqrt[3]{x-1}) \\ \\ x= 1 - (\sqrt[3]{x-1})(1 - \sqrt[3]{x-1}) \\ \\ x-1 = (\sqrt[3]{x-1})(\sqrt[3]{x-1}-1)$

$\textrm{Hacemos un cambio de variable} \\ \\ \boxed{a^{3} = x-1} \\ \\ x-1 = (\sqrt[3]{x-1})(\sqrt[3]{x-1}-1) \\ \\ a^{3}= (a)(a-1) \\ \\ a^{3} = a^{2} - a \\ \\ a^{3} - a^{2} + a = 0 \\ \\ a(a^{2}-a+1)=0 \\ \\ \textrm{Entonces surgen dos posibilidades.} \\ \\ a^{2}-a+1 = 0\ \vee\ a = 0$

$\textrm{Sin embargo...} \\ \\ a^{2}-a+1 = 0\ \Longrightarrow\ \textrm{No tiene soluciones reales} \\ \\ \textrm{Por ende la \'unica posibilidad es:} \\ \\ a=0 \\ \\ \sqrt[3]{x-1} = 0 \\ \\ \textrm{Nuevamente elevamos ambas partes de la igualdad al cubo.} \\ \\ x - 1 = 0 \\ \\ x = 1$

RESPUESTA

$\boxed{x=1}$