Question

la suma de los numeros es 12 y su producto es 35 ¿cuales la suma de sus cubos?

Answer 1

la suma de dos números (X;Y) dan 12 y su producto (su multiplicación) es 35 entonces:

$x + y = 12 \\ \\ x \times y = 35$
igualó a cualquier variable de una de las ecuaciones, y luego se la encajó a la otra ecuación. ( lo hagp con la suma y se lo meto al producto pero también se puede hacer al revés)

$x + y = 12 \\ \\ y = 12 - x$

"Y" se lo meto en la otra ecuación:
$x \times (12 - x) = 35$

distribuyó la X:

$12x - x {}^{2} = 35$
lo igualó a cero (0):

$12x - x {}^{2} - 35 = 0$

arreglo la ecuación para que quede linda:

$- {x}^{2} + 12x - 35 = 0$

uso la resolvente de las cuadráticas(baskhara) o completo cuadrados (yo voy a completar cuadrados)

completando cuadrados:
$- {x}^{2} + 12x - 35 = 0 \\ \\ -1 ( {x}^{2} - 12x + 35) = 0 \\ \\ {x}^{2} - 12x + 35 = 0 \\ \\ ( {x - 6)}^{2} - 36 + 35 = 0 \\ \\ {(x - 6)}^{2} - 1 = 0 \\ \\ {(x - 6)}^{2} = 1 \\ \\ \sqrt{ {(x - 6)}^{2} } = \sqrt{1} \\ \\ |x - 6| = 1$
de acá salen dos posibilidades por definición

primera posibilidad:
$x - 6 = 1 \\ \\ x = 1 + 6 \\ \\ x = 7$

segunda posibilidad:
$x - 6 = - 1 \\ \\ x = - 1 + 6 = 5$
ahora como ya hallamos las 2 posibilidades la remplazamos en cualquiera de las 2 primeras ecuaciones.

si X=7 entonces
$7 + y = 12 \\ \\ y = 12 - 7 \\ \\ y = 5$
ahora comprobar la condición de la segunda ecuación si X=7 e Y=5 entonces:
$7 \times 5 = 35$
como los dos números cumplen las dos condiciones entonces los números son 7 y 5

(no use la otra posibilidad porque si para X=5 entonces Y será 7, esto se debe por la propiedad que comparten la suma y el producto, esta propiedad es la conmutativa)


La suma de sus cubos son:

5^3 + 7^3=125 + 343=468