Question

Encuentre la antiderivada más general de las siguientes funciones, compruebe su respuesta mediante la derivación y
Grafique en Geogebra la función y una de sus antiderivadas.

Answer 1

⭐SOLUCIÓN: csc(x) - 3 ctg(x) + 3sen⁻¹(x) + C

La antiderivada se refiere al cálculo de la integral.

En este caso solamente tendremos que acomodar función a una forma más sencilla. Todo esto lo haremos aplicando propiedades de funciones trigonométricas:

f (x) = -cscx · ctgx + 3csc²x + 3/√1 - x²

Separamos:

Primera integral

g(x) = -cscx · ctgx = -1/senx · cosx/senx = -cosx/senx²

$-\int\ \frac{cosx}{senx^{2}}\, dx$

Por cambio de variable: u = senx → du = cosx

$-\int\ \frac{du}{u^{2}}\, dx =-\int\ u^{-2}\, du=\frac{1}{u}+C=\frac{1}{Senx}+C=cscx+C$

Comprobamos con la derivada:

-cscx · ctgx

Segunda integral

h (x) = 3csc²x

$3\int\csc^{2}x\, dx =-3ctgx+c$

Comprobamos con la derivada:

-3 · -csc²x = 3cscx

Tercera integral

i (x) = 3/√(1 - x²)

$3\int\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\, dx$

Por sustitución trigonométrica:

x = senα   →   dx = cosα doα

$3\int\frac{cos\alpha }{\sqrt{1-sen^{2}\alpha}}\, d\alpha$

Recordar: sen²α + cos²α = 1    →    cos²α = 1 - sen²α

$3\int\frac{cos\alpha }{\sqrt{cos^{2}\alpha}}\, d\alpha=3\int\,d\alpha =\alpha +C$

Devolviendo el cambio:

x = senα

α = sen⁻¹x

Entonces:

$3\int\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\, dx=3sen^{-1}x+C$

Comprobamos con la derivada:

1/√(1 - x²)