Question

Calcular la integral $\int\ arcsen({x}) \, dx$

Answer 1

Integracion por partes

Mediante el uso de la formula

$\int u\cdot dv=u\cdot v-\int v\cdot du\\ \\con\ u=u(x)\ \ y\ \ v=v(x)$


Tomamos

$u=arcsen(x)\longrightarrow du=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx\\ \\dv=dx\longrightarrow v=x$

Sustituyendo en la fórmula:

$\int arcsen(x)\, dx=arcsen(x)\cdot x-\int x\cdot\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\, dx\\ \\\int arcsen(x)\, dx=arcsen(x)\cdot x-\int x(1-x^2)^{-\frac{1}{2}}\, dx \\ \\Resolvemos\ por\ separado\\ \\comparamos\ con\ la\ integral\ \int f'(x)\cdot [f(x)]^n\, dx=\frac{[f(x)]^{n+1}}{n+1}\\ \\Observamos\ que:f(x)=(1-x^2)\ ,\ f'(x)=-2x\ ,\ n=-\frac{1}{2}\\ \\Nos\ falta\ solo\ tener\ al\ -2\ multiplicando$

como el "-2" es una constante podemos multiplicar a la integral por dicha constante, pero a su vez dividirla.

$\int x(1-x^2)^{-\frac{1}{2}}\, dx=-\frac{1}{2}\int -2x(1-x^2)^{-\frac{1}{2}}\, dx\\ \\-\frac{1}{2}\int -2x(1-x^2)^{-\frac{1}{2}}\, dx=-\frac{1}{2}\cdot\frac{[1-x^2]^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1}\\ \\-\frac{1}{2}\cdot\frac{[1-x^2]^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1}=-\frac{1}{2}\cdot\frac{(1-x^2)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}\\ \\-\frac{1}{2}\cdot\frac{(1-x^2)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}=-(1-x^2)^{\frac{1}{2}}=-\sqrt{1-x^2}\\ \\Asi\ que:\\ \\\int x(1-x^2)^{-\frac{1}{2}}\, dx=-\sqrt{1-x^2}$

Finalmente reemplazando nos queda:

$\int arcsen(x)\, dx=arcsen(x)\cdot x -(-\sqrt{1-x^2})+C\\ \\\boxed{\int arcsen(x)\, dx=x\cdot arcsen(x)+\sqrt{1-x^2}+C}$