Question

Considere los puntos A = (1,2,3), B = (1,0,6) y C = (−2,6−9). a) Calcule la longitud de los vectores −→ AB y −→ AC.

Answer 1

La longitud de cualquier vector formado por 2 puntos en el espacio se encuentra  por: $\sqrt{(x_2-x_1 )^{2}+(y_2-y_1 )^{2}+(z_2-z_1 )^{2}}$

En otras palabras... Se encuentra como, llegada menos salida y luego elevar al cuadrado. Esto viene cuando obtenemos un vector formado por 2 puntos y lo podemos obtener como llegada menos salida, llegada es el punto final, salida es el punto desde donde comenzamos. El vector AB quiere decir que sale de A y llega a B, para saber cuales son sus coordenadas en el espacio (osea en 3D) hacemos llegada menos salida:

La longitud de cualquier vector formado por 2 puntos en el espacio se encuentra  por: $\sqrt{(x_2-x_1 )^{2}+(y_2-y_1 )^{2}+(z_2-z_1 )^{2}}$

En otras palabras... Se encuentra como, llegada menos salida y luego elevar al cuadrado. Esto viene cuando obtenemos un vector formado por 2 puntos y lo podemos obtener como llegada menos salida, llegada es el punto final, salida es el punto desde donde comenzamos. El vector AB quiere decir que sale de A y llega a B, para saber cuales son sus coordenadas en el espacio (osea en 3D) hacemos llegada menos salida:

$AB=(x_2-x_1 )i+(y_2-y_1 )j+(z_2-z_1 )k$

i=coordenadas en x

j=coordenadas en y

k=coordenadas en z

Tenemos:

$AB=(1-1)i+(0-2)j+(6-3)k=0i-2j+3k$

Este es el vector, pero para encontrar su magnitud (su tamaño o longitud)  elevamos al cuadrado sus componentes (x,y &z) y las sumamos (como si fueran vectores en 2D sólo le agregamos la componente en z) y luego a ese resultado le sacamos la raíz cuadrada

$AB=\sqrt{(0)^{2} +(-2)^{2}+(3)^{2}} =\sqrt{13}$

AB≈3.61

Ese es el proceso largo para obtener la magnitud, lo bueno de eso es que si te llegaran a pedir las coordenadas del vector ya las has calculado (es recomendable si estás comenzando hacerlo de esa manera osea la del inicio) cuando ya tengas más experiencia o sea lo único que te pidan (la magnitud o longitud) entonces mejor ocupas la primera fórmula que está al inicio.

$AC=\sqrt{(x_2-x_1 )^{2}+(y_2-y_1 )^{2}+(z_2-z_1 )^{2}}=\sqrt{(-2-1)^{2}+(6-2)^{2}+(-9-3)^{2}} =\sqrt{(-3)^{2}+(4)^{2}+(-12)^{2}} =13$

Dato importante: La magnitud será la misma de AB & BA osea la magnitud (longitud) del vector será la misma si sale de A y llega a B o si sale de B y llega a A, pero OJO el sentido no es el mismo, un vector se compone por magnitud, dirección y sentido. La magnitud es la misma en ambas, ambos se dirigen al mismo lugar pero su sentido es opuesto. Espero haberte ayudado y no haberte confundido más.