Question

Segunda parte (punto 8)
El conjunto de todas las antiderivadas de f(x) se llama integral indefinida de f respecto a x, y se denota por el símbolo ∫f(x)dx=F(x)+C, siendo C la constante de integración.
Resuelva paso a paso las siguientes integrales y aplique las propiedades básicas de la integración, no se admite el uso de métodos de integración pues son estrategias que se usarán en la siguiente unidad.
8. La integral definida se caracteriza por tener límites de integración superior e inferior, que se evalúan una vez se haya obtenido la primitiva de la función integrada, teniendo en cuenta el siguiente criterio: generalmente conocido como el Segundo Teorema Fundamental del Cálculo.
Evalúe la siguiente integral:

Answer 1

⭐Resultado de la integral definida: 3.14 = π

Antes de resolver, reescribiremos la función, empleando diferentes propiedades:

cos (x - π/2) = cosx · cos(π/2) + senx · sen(π/2) = cosx + 0.027senx

Entonces:

$\int\limits^\frac{\pi}{4}_\frac{-\pi}{4} {\frac{(cosx+0.027senx)^{2}}{cosx^{2}} }\, dx+\int\limits^\frac{\pi}{4}_\frac{-\pi}{4} {1}\, dx$

Aparte

$\int\ (1)\, dx =x+c$

$\int\limits^\frac{\pi}{4}_\frac{-\pi}{4} 1\, dx =\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}$

Seguimos:

Aplicando producto notable

$\int\limits^\frac{\pi}{4}_\frac{-\pi}{4} {\frac{cosx^{2}+0.054senx*cos+7.5*10^{-4}senx^{2}}{cosx^{2}}}\, dx$

$\int\limits^\frac{\pi}{4}_\frac{-\pi}{4} 1+0.054tanx+7.5*10^{-4}tanx^{2}}}\, dx$

$\int\limits^\frac{\pi}{4}_\frac{-\pi}{4} 1+0.054tanx+7.5*10^{-4}tanx^{2}}}\, dx$

APARTE:

$\int\ (tanx)\, dx =ln|secx|+c$

$\int\limits^\frac{\pi}{4}_\frac{-\pi}{4}0.054tanx}}\, dx=0.054*[ln|sec(\pi/4)|-ln|sec(-\pi/4)|]=0.054*(9.4*10^{-5}-9.4*10^{-5})=0$

APARTE:

$7.5*10^{-4}\int\ (tanx^{2})\, dx =7.5*10^{-4}\int\ (secx^{2}-1)\, dx$

$7.5*10^{-4}\int\ (secx^{2}-1)\, dx=7.5*10^{-4}(tanx-x+c)$

Evaluando en x, obtendremos π/2, tal como se ha demostrado más arriba. Finalmente evaluamos:

$7.5*10^{-4}*[tan(\frac{\pi}{4})-tan(\frac{-\pi}{4})-\frac{\pi }{2} ]=-1.2*10^{-3}$

⭐JUNTAMOS LOS RESULTADOS

π/2 + 0 - 1.2 × 10⁻³ + π/2

π/2 + 1.2 × 10⁻³ + π/2 = 3.14