Question

Aplicando la definición, una solución de la siguiente ecuación diferencial: y lnx dx/dy=〖((y+1)/x) 〗^2, con valor inicial y(0)=0, se puede simplificar como:

1/3 x^3 lnx-1/9 x^3=1/2 y^2+2y+ln|x|+c
1/3 x^3 lnx+1/9 x^3=1/2 y^2+2y-ln|x|+c
1/2 x^3 lnx-1/4 x^3=1/2 y^2+2y+ln|x|+c
1/3 x^3 lnx+1/9 x^3=1/2 y^2+2y+ln|x|+c

Answer 1

RESPUESTA:

Inicialmente tenemos una ecuación diferencial tal que:

y·ln(x) dx/dy = [(y+1)/x]²

Simplificamos la expresión:

y·ln(x) dx/dy = (y+1)²/x²

Observamos que es una ecuación separable, entonces dejamos cada variable en un lado de la igualdad.

x²·ln(x)·dx = (y+1)²/y dy

Procedemos a integrar y tenemos:

∫x²·ln(x)·dx = ∫(y+1)²/y dy

Tenemos dos integrales que resolveremos por separado.

∫x²·ln(x)·dx → Integral por partes

Tiene la siguiente formula el método de por partes:

∫u·v = u·v -∫v·du

Definimos variables

• u = ln(x) → du = 1/x · dx
• v = ∫x² dx → v = x³/3

Sustituimos y tenemos:

I = x³/3 · ln(x) - ∫1/x · x³/3 · dx

I = x³/3 · ln(x) - ∫x²/3 dx

I = x³/3 ·ln(x) - x³/9  → Primera solución

Resolvemos la segunda integral

I = ∫(y+1)²/y dy

Resolvemos el producto notable:

I = ∫(y² + 2y + 1)/y dy

I = ∫y dy + ∫2 dy + ∫ 1/y dy

I = y²/2 + 2y + ln|y| + C → Segunda solución

Por tanto si igualamos nuestra soluciones tenemos:

x³/3 ·ln(x) - x³/9  = y²/2 + 2y + ln|y| + C  

Por tanto la opción correcta es la A.