Hallar la ecuacion de la circunferencia cuyo centro esta sobre la recta 7x-2y-1=0 y que es tangente a cada una de las rectas 5x-12y+5=0 y 4x+3y-3=0. (dos soluciones)
Respuestas
Para determinar las ecuaciones de la circunferencia, debemos calcular las coordenadas del centro de la circunferencia y el radio de la misma:
Trabajaremos con las variables a que es coeficiente de X y b, que es el coeficiente de Y
(I) 7a -2b-10 = 0
Determinemos el radio para la recta: 4X+3Y-3 = 0
R = 4a+3b-3 /√4² +3² = |4a+3b-3/5|
Determinemos el radio para la recta: 5X-12Y+5 = 0
R = 5a-12b-10/√5² +12² = |5a-12b-10/13|
Con el valor de los radios, llegaremos a un sistemas d ecuaciones:
13( 4a+3b-3) = 5(5a -12b -10)
52a +39b -39 = 25a -60b-50
27a +99b + 11 = 0(II) Multiplicamos -7
7a -2b-10 = 0 (I) Multiplicamos 27
______________
-189a -693b - 77 = 0
189a-14b -270 = 0
_________________
-707b = 347
b = 0,49
a = 1,46
Coordenadas del centro: c ( 1,46; 0,49)
En la primera formula del radio sustituimos términos:
R = 4(1,46) + 3(0,49) -3/5 = (5,84 +1,47 -3)/5 = 0,862
Primera Ecuación de la circunferencia:
(x-a)² + (Y-b)² = R²
(X-1,46)² +(Y-0,49)² = (0,862)²
La siguiente forma la determinamos con el inverso del modulo del segundo radio, es decir con este valor multiplicado por -1 resultando la ecuación (III)
77a -21b -14 = 0 (III)
7a -2b +10 = 0 (I) Multiplicamos (-11)
________________
77a -21b-14 = 0
-77a +22b +110 = 0
_______________
b = 96
a = -26
R = 5(-26) +2(-96) +5/13 = 79
Segunda ecuación de la circunferencia
(X+26)² + (Y+96)² = (79)²