Question

La solución de la ecuación diferencial homogénea: (y^3+x^3) dy/dx = xy^2 dy/dx corresponde a:

a. y=ce^(y²/(2x² ))
b. e^(x/y)=cx
c. y=lnx+e^(y^2/2)+c
d. y=e^(y^2/x^2 )+c

Answer 1

RESPUESTA:

Tenemos una ecuación diferencial que:

(y³+x³) dy/dx = xy²

Recordemos que en la ecuaciones homogéneas todas las potencias deben ser iguales, verifiquemos:

• y³ → potencia 3
• x³ → potencia 3
• xy² → se suman las potencias 1+2 = 3, potencia 3

Para resolver este tipo de ecuaciones haremos un cambio de variables.

y = ux → dy = xdu + udx

Reescribimos y sustituimos el cambio en nuestra ecuación, tenemos:

(y³ + x³) dy - (xy²) dx = 0

(u³x³ + x³)(xdu + udx) - (x(ux)²) dx = 0

u³x⁴ du + u⁴x³dx + x⁴du + x³u dx - ux³ dx = 0

Simplificamos y tenemos:

u³x⁴ du + u⁴x³dx + x⁴du = 0

Multiplicamos por el factor (1/x⁴u⁴) ya que es una ecuación separable.

1/u · du + 1/x dx + 1/u⁴ du = 0

Ya que esta separada procedemos a integrar:

∫1/u · du + ∫1/x dx + ∫1/u⁴ du = 0

Ln|u| + ln|x| - u⁻³/3 +C = 0

Debemos devolver el cambio sabiendo que u = y/x

Ln|y/x| + ln|x| - (y/x)⁻³/3 +C = 0

ln|y| - x³/3y³ + C = 0

y = e^(x³/3y³) + C →  Solución general

NOTA: Verificar si el enunciado no tiene ningún error, el dy/dx no puede estar en ambos lado de la igualdad.