Question

AYUDA DOY 25 PUNTOS

7. Uno de los métodos de solución de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden es el factor de integración, el cual involucra a un factor I(x,y), que al multiplicar la E.D.O. la transforma permitiendo resolverse por integración directa o la convierte en una E.D.O. exacta. Es decir, si se cumple que I(x,y)[M(x,y)dx+N(x,y)dy]=0 es exacta.
Un procedimiento para suministrar un medicamento en la sangre, es hacerlo de forma constante mediante una técnica de inyección llamada infusión intravenosa. Este método puede ser modelado mediante la ecuación diferencial PdC-(J-kC(t))dt=0, donde C(t)= Concentración del fármaco en cada instante t, además P, J y k son constantes positivas que representan las características del proceso y condiciones específicas del paciente.
Dada la información anterior se puede afirmar que:
Al resolver el modelo que cumple con la condición inicial C(0)=1 se obtiene:

Answer 1

SOLUCIÓN :

PdC-(J - kC(t) )dt=0

 Se plantea :

 M= P   y N= J - kC(t)

  siendo :

 MdC + Ndt =0

 Siendo : Mc=0 y  Nc = K(t)/P

  El factor de integración es: P(t) = K(t) -0/P  →    P(t) = K(t)/P y el factor de integración es:

  e∧∫^k(t)/P dt → e∧∫ (kt²/P)/2

  Al multiplicar ambas expresiones por el factor de integración :

 e∧(kt²/2P) * PdC + e∧ ( kt²/2P) *( J - KC(t) ) dt=0

  La ecuación es exacta y las derivadas parciales son :

    Mt= e∧(kt²/2P)* k(t)

   Nt= e∧(kt²/2P)/ k(t)

  Se integra M respecto a c.

   f = ∫e∧(kt²/2P) *P dc = e∧(kt²/2P)*P*C + g(t)

   se deriva respecto a t :

   fy= d(e∧(kt²/2P)*P*Cdt= e∧(kt²/2P) *CK(t) + g'(t)

  se iguala:

  e∧(kt²/2P) *CK(t) + g'(t) = e∧(kt²/2P) *(J - KC(t) )

    g'(t) = e∧(kt²/2P) *J

  Al integrar g'(t) resulta :

    g(t)= ∫e∧(kt²/2P) J dt  = e^(kt²/2P) J/2T.

  Entonces , la solución general es :

   f(c,t)= Â e∧(kt²/2P)* P*C + e∧(kt²/2P) *J/2T

   La solución es la opción 1 .