Question

Encuentra las dimensiones de un rectángulo de máximo perimetro inscrito en un circulo de radio 3

Answer 1

Te anticipo que la respuesta es un cuadrado.

Veamos. Sean x e y la base y la altura del rectángulo de la figura.

Por un lado: x² + y² = 6² = 36

El perímetro es P = 2 (x + y)

Pongamos y en función de x:  y =√(36 - x²)

Reemplazamos en P = 2 [x + √(36 - x²)], quedando P como una función de x

Una condición de máximo es la primera derivada nula.

La derivada de la raíz vale: 1 / [ 2 √(36 - x²)] . (- 2x)² = - x / √/36 - x²)

Luego P ' = 2 [ 1 - x / √/36 - x²)] = 0; el 2 no participa:

Resulta entonces - x = √/36 - x²); elevamos al cuadrado:

x² = 36 - x² ; 2 x² = 36; x = √18

Con este valor de x, resulta y = x

Por lo tanto, el rectángulo resulta ser un cuadrado de lado √18

Saludos Herminio