Una pelota es lanzada hacia arriba desde una altura de 345.5 pies sobre el nivel del suelo con una velocidad inicial de 110 pies por segundo. Si se sabe que la velocidad al tiempo t es de v = 96 −32t pies por segundo: Encuentra s (t ) la función que da la altura de la pelota al tiempo t.
Respuestas
Una pelota es lanzada hacia arriba desde una altura de 345.5 pies sobre el nivel del suelo con una velocidad inicial de 110 pies por segundo. Si se sabe que la velocidad al tiempo t es de v = 96 −32t pies por segundo: Encuentra s (t ) la función que da la altura de la pelota al tiempo t.
Hola!!!
Algunas cuestiones Teóricas claves que debemos tener en cuenta en la resolución de este ejercicio:
La velocidad ( V ) es la derivada del espacio recorrido ( X ) con respecto al tiempo ( t ), por lo tanto, integrando la función de la velocidad tendremos el espacio recorrido, en nuestro caso será la altura ( S ):
∫v dt = ∫(96 −32t) dt ⇒ Propiedad de la suma
∫v dt = ∫96 dt + ∫-32t ⇒ Propiedad de la Constante
∫v dt = 96∫ dt -32∫ t dt
Primitivas inmediatas:
∫ dx = x
∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹ / n + 1
Por lo tanto tendremos:
∫v dt = 96∫ dt -32∫ t dt
∫v dt = 96t -32t²/2
∫v dt = 96t -16t²+ C (sumamos una Constante) ⇒
S(t) = 96t -16t²+ C
Sabemos que el Lanzamiento inicial, t = 0 s se produce a una altura S = 345.5 Pies, por lo tanto sustituyendo en la Ecuación hallada podemos hallar la constante C:
S(t) = 96t -16t²+ C
345.5 = 96(0) - 16(0)² + C
C = 345.5
Función de la Altura con respecto al Tiempo:
S(t) = 96t -16t² + 345.5 (Pies)
Si quisiéramos hallar el tiempo que tarda la pelota en llegar al piso, tendríamos en ese caso que evaluar la función recientemente hallada con S = 0 Pie
S(t) = 96t -16t² + 345.5
0 = 96t -16t² + 345.5 ⇒
-16t² + 96t + 345.5 = 0 Resolver por Formula General
t = (-96 +-177) /-32
t₁ = -2.5 ×××× (El tiempo debe ser positivo)
t₂ = 8,53 ⇒
El tiempo que tarda en llegar al suelo t = 8,53 seg