Resuelve el siguiente sistema de ecuación lineal y clasifícalo en función del número de soluciones, de igual manera determina si es posible, o no, eliminar una de las ecuaciones, de forma que el sistema que resulte sea equivalente al anterior:
1. x – y + z + t = 4
2x + y – 3z + t = 4
x - 2y + 2z – t =3
2. x - 2y - 2z + t = 4
x + y + z - t = 4
x - y - z + t =3
6x – 3y -3z + 2t = 32
Respuestas
Respuesta.
1) El sistema de ecuaciones es el siguiente:
x – y + z + t = 4
2x + y – 3z + t = 4
x - 2y + 2z – t = 3
En este caso como son 3 ecuaciones con 4 incógnitas el resultado siempre serán infinitas soluciones.
Despejando x de la primera ecuación y sustituyendo en la segunda y tercera.
x – y + z + t = 4 => x = 4 + y - z - t
Sustituyendo:
2(4 + y - z - t) + y – 3z + t = 4 => 8 + 2y - 2z - 2t + y - 3z + t = 4 => 3y - 5z -t = -4
4 + y - z - t - 2y + 2z – t = 3 => -y + z - 2t = -1
Las nuevas ecuaciones son:
3y - 5z -t = -4
-y + z - 2t = -1
Se despeja la y.
-y + z - 2t = -1 => y = z - 2t + 1
Sustituyendo:
3(z - 2t + 1) - 5z -t = -4
3z - 6t + 3 - 5z - t = -4
-2z -7t = -7
z = 7/2 - 7t/2
Con los infinitos valores de t se pueden obtener los de x, y y z.
2)
x - 2y - 2z + t = 4
x + y + z - t = 4
x - y - z + t =3
6x – 3y -3z + 2t = 32
Despejando de la segunda ecuación a t.
x + y + z - t = 4 => t = x + y + z - 4
Sustituyendo:
x - 2y - 2z + x + y + z - 4 = 4
2x - y - z = 8
x - y - z + x + y + z - 4 =3
2x = 7 => x = 7/2
6x – 3y -3z + 2(x + y + z - 4) = 32
6x – 3y -3z + 2x + 2y + 2z - 8 = 32
8x - y - z = 40
Una vez encontrado el valor de x se sustituye en el resto de las ecuaciones:
2(7/2) - y - z = 8
y + z = -1
8(7/2) - y - z = 40
28 - y - z = 40
y + z = -12
El sistema de ecuaciones que queda indica que existe una relación de dependencia entre 2 ecuaciones.
y + z = -1
y + z = -12
Por lo tanto se concluye que existen infinitas soluciones para este sistema.