Question

Demostrar que f(x) = x5 - 2x2 – 6 tiene una raíz en [1, 2] y utilizando el Método de Bisección determine una aproximación a la raíz con una precisión de al menos 10-3.

Answer 1

RESPUESTA:

Inicialmente tenemos que el método de bisección nos indica que:

Xr = (Xa+ Xb)/2

Xb = f(Xa)·f(Xr)

Nuestra función es la siguiente:

f(x) = x⁵ -2x² - 6

Este proceso lo debemos realizar en varias interciones, sin emabrgo nos indican que la precisión debe ser al menos de 10⁻³, entonces:

E < b-a/2ⁿ

Despejamos el valor de n, tenemos;

10⁻³ = (2-1)/2ⁿ

2ⁿ = 1/10⁻³

n = 9.96

Por tanto, se deben hacer al menos 10 iteraciones.

1- Iniciamos con el intervalo [1,2]

Xr = (1+2)/2 = 1/2

Xb = [(1)⁵ -2(1)²-6]·[(0.5)⁵ -2(0.5)²-6] = 45.28 > 0  

Como Xb > 0, entonces Xr = Xa

2- Aplicamos siempre el mismo proceso. Intervalo [0.5;2].

Xr = (0.5+2)/2 = 1.25

Xb = [(1.25)⁵ -2(1.25)²-6]·[(0.5)⁵ -2(0.5)²-6] = 39.28 > 0  

Como Xb > 0, entonces Xr = Xa

3- Intervalo [1.25;2].

Xr = (1.25+2)/2 = 1.625

Xb = [(1.25)⁵ -2(1.25)²-6]·[(1.625)⁵ -2(1.625)²-6] = -0.30 < 0  

Como Xb < 0, entonces Xr = Xb

4- Intervalo [1.25,1.625]

Xr = (1.25+1.625)/2 = 1.4375

Xb = [(1.25)⁵ -2(1.25)²-6]·[(1.473)⁵ -2(1.473)²-6] = 20.68 > 0  

Como Xb > 0, entonces Xr = Xa

5- Intervalo [1.4375;1.625]

Xr = (1.4375+1.625)/2 = 1.53125

Xb = [(1.53125)⁵ -2(1.53125)²-6]·[(1.473)⁵ -2(1.473)²-6] = 7.73 > 0  

Como Xb > 0, entonces Xr = Xa

6- Intervalo [1.53125;1.625]

Xr = (1.53125+1.625)/2 = 1.578125

Xb = [(1.53125)⁵ -2(1.53125)²-6]·[(1.578125)⁵ -2(1.578125)²-6] = 2.70 > 0  

Como Xb > 0, entonces Xr = Xa

7- Intervalo [1.578125;1.625]

Xr = (1.578124+1.625)/2 = 1.601

Xb = [(1.601)⁵ -2(1.601)²-6]·[(1.578125)⁵ -2(1.578125)²-6] = 0.72 > 0  

Como Xb > 0, entonces Xr = Xa

8- Intervalo [1.601;1.625]

Xr = (1.601+1.625)/2 = 1.613

Xb = [(1.601)⁵ -2(1.601)²-6]·[(1.613)⁵ -2(1.613)²-6] = 0.17 > 0  

Como Xb > 0, entonces Xr = Xa

9- Intervalo [1.613;1.625]

Xr = (1.613+1.625)/2 = 1.619

Xb = [(1.619)⁵ -2(1.619)²-6]·[(1.613)⁵ -2(1.613)²-6] = 0.0338 > 0  

Como Xb > 0, entonces Xr = Xa

10- Intervalo [1.619;1.625]

Xr = (1.619+1.625)/2 = 1.622

Xb = [(1.619)⁵ -2(1.619)²-6]·[(1.622)⁵ -2(1.622)²-6] = 0.00416 > 0  

Llegamos a nuestra décima iteración y podemos decir que nuestra raiz tiene el valor de 1.622.

El valor real de la raíz es de 1.6232 por tanto podemos observar que tuvimos una buena aproximación.