Question

quien me podría ayudar a resolver esta integral triple

Answer 1

(1) Primero resolvamos la siguiente integral

$\displaystyle I_z=\int_{\sqrt{1-x^2-y^2}}^{\sqrt{2xy}}\dfrac{z}{x^2+y^2+z^2}~dz\\ \\ \\ \text{En este caso debemos observar a x^2+y^2 como si fuese una constante }\\ \\ \\ I_z=\dfrac{1}{2}\int_{\sqrt{1-x^2-y^2}}^{\sqrt{2xy}}\dfrac{\partial_z(x^2+y^2+z^2)}{x^2+y^2+z^2}~dz\\ \\ \\ I_z=\dfrac{1}{2}\left.\ln\left|x^2+y^2+z^2\right|\right|_{z=\sqrt{1-x^2-y^2}}^{z=\sqrt{2xy}}\\ \\ \\ I_z=\dfrac{1}{2}\ln|x^2+y^2+2xy|-\dfrac{1}{2}\ln 1\\ \\ \\ \boxed{I_z=\ln|x+y|}$

(2) Hasta aquí tenemos que resolver

$\displaystyle I=\int_{1}^{2}\int_{x}^{2x}\ln|x+y| ~dy~dx\\ \\ \\ \text{Entonces calculemos antes la siguiente integral}:\\ \\ I_y=\int_{x}^{2x}\ln|x+y|~dy\\ \\ \\ \text{Ya que 1\leq x\leq2 entonces esta integral se reduce a}\\ \\ I_y=\int_{x}^{2x}\ln(x+y)~dy\\ \\ \\ \text{Integraci\'on por partes: }\\ \\  I_y=\left.[y\ln(x+y)]~\right|_{y=x}^{y=2x}-\int_{x}^{2x} y~[\partial_y \ln(x+y)]~dy$

$\displaystyle I_y=[2x\ln(3x)-x\ln(2x)]-\int_{x}^{2x}\dfrac{y}{x+y}~dy\\ \\ \\ I_y=[2\ln(3x)-\ln(2x)]x-\int_{x}^{2x}1-\dfrac{x}{x+y}~dy\\ \\ \\ I_y=x\ln(\frac{9}{2}x)-x+\int_{x}^{2x}\dfrac{x}{x+y}~dy\\ \\ \\ I_y=x\ln(\frac{9}{2}x)-x+x\int_{x}^{2x}\dfrac{1}{x+y}~dy\\ \\ \\ I_y=x\ln(\frac{9}{2}x)-x+x\left.[\ln(x+y)]~\right|_{y=x}^{y=2x}\\ \\ \\ I_y=x\ln(\frac{9}{2}x)-x+x[\ln(3x)-\ln(2x)]\\ \\ \\ I_y=x\ln(\frac{9}{2}x)-x+x\ln\frac{3}{2}\\ \\ \\ \boxed{I_y=x\ln(\frac{27}{4}x)-x}$

(3) Luego tenemos

$\displaystyle I=\int_{1}^{2} x\ln\left(\frac{27}{4}x\right)-x~dx\\ \\ \\ I=\int_{1}^{2} x\ln\left(\frac{27}{4}x\right)~dx-\frac{3}{2}\\ \\ \\ I=\ln\frac{27}{4} \int_{1}^{2} x~dx +\int_{1}^{2}x\ln x~dx-\frac{3}{2}\\ \\ \\ I=\frac{3}{2}\ln\frac{27}{4} +\int_{1}^{2}x\ln x~dx-\frac{3}{2}\\ \\ \\ I=\frac{3}{2}\ln\frac{27}{4} +\ln4-\frac{3}{4}-\frac{3}{2}\\ \\ \\ I=\ln\left(\frac{3^{9/2}}{2^3}\cdot 2^2\right)-\frac{9}{4}\\ \\ \\ \boxed{\boxed{I=\ln\frac{81\sqrt3}{2}-\frac{9}{4}}}$