Question

Ayuda porrrrrfi
Halle los maximos y mınimos absolutos de: a) f(x, y) = (x − 1)2 + y 2 restringida a la region D = {(x, y) ∈ R 2/x2 + y 2 ≤ 4}

Answer 1

1) Sea c ∈ [0,4] y la restricción $h(x,y) = x^2+y^2-c=0$

2) La función a maximizar es $f(x, y) = (x-1)^2 + y^2$. Utilicemos la función de Lagrange

$\Lambda(x,y)= (x-1)^2 + y^2-\lambda(x^2+y^2-c)\\ \\ \bullet \text{ Hallemos los puntos cr\'iticos }\\ \\ \Lambda_x=2(x-1)-2\lambda x=0\\ \Lambda_y=2y-2\lambda y=0$

$(x,y,\lambda)\in\left\{\left(-\sqrt{c},0,\dfrac{\sqrt{c}+1}{\sqrt{c}}\right);\left(\sqrt{c},0,\dfrac{\sqrt{c}-1}{\sqrt{c}}\right)\right\}\\ \\ \\ \bullet \text{Criterio de la segunda derivada:}\\ \\ \\ \Lambda_{xx}=2-2\lambda~~;~~ \Lambda_{xy} =0~~;~~ \Lambda_{yy} =2-2\lambda\\ \\ |M_{11}|=2-2\lambda\\ \\ |M_{22}|=\Lambda_{xx}\Lambda_{yy}-\Lambda^2_{xy}=(2-2\lambda)^2>0$

$\text{Entonces todo depende del signo de |M_{11}| }\\ \\ \bullet\bullet \text{ Para el punto } \left(-\sqrt{c},0,\dfrac{\sqrt{c}+1}{\sqrt{c}}\right):\\ \\ \\ |M_{11}|=2-2\times\dfrac{\sqrt{c}+1}{\sqrt{c}}=-\dfrac{2}{\sqrt{c}}<0\\ \\ \\ \\ \bullet\bullet \text{ Para el punto } \left(\sqrt{c},0,\dfrac{\sqrt{c}-1}{\sqrt{c}}\right):\\ \\ \\ |M_{11}|=2-2\times\dfrac{\sqrt{c}-1}{\sqrt{c}}=\dfrac{2}{\sqrt{c}}>0$

$\text{Por ende (-\sqrt{c},0) es un punto de m\'aximo y (\sqrt{c},0) de m\'inimo}\\ \\ \\ f(-\sqrt{c},0)=(\sqrt{c}+1)^2\to f_{\max}=9~~,~~\text{Cuando c=4 }\\ \\ f(\sqrt{c},0)=(\sqrt{c}-1)^2\to f_{\min}=0~~,~~\text{Cuando c=1 }\\ \\ \\ \text{As\'i (-2,0) es un punto de m\'aximo y (1,0) uno de m\'inimo}$