Question

De un saco de frutas que contiene 3 naranjas, 2 manzanas y 3 plátanos se selecciona una mutra aleatoria de 4 frutas. si x el número de naranjas y y el número de manzanas en la mutra, encuentre: a) la distribución de probabilidad conjunta de x y y b) la covarianza , .

Answer 1

P(A | B) = P(A n B) / P(B)   donde n significa intersección

P(y=0 | x=2) = P(y=0 n x=2) / P(x=2)

x=2 es la probabilidad de que haya 2 naranjas

Si consideramos simplemente los sucesos naranja y no naranja tenemos.

Combinaciones totales

C(8, 4) = 8·7·6·5 / 4! = 70

las favorables son

C(3, 2)·C(5 ,2) = (3·2/2!)*(5·4/2) = 3·10 = 30

luego la probabilidad es

P(y=2) = 30/70

Y veamos cual la P(y=0 n x=2)

debe haber 2 naranjas y 2 platanos, los casos favorables son

C(3, 2)·C(3,2) = 3·3 = 9

luego la probabilidad es 9/70

Luego la probabilidad condicionada es

P(y=0 |x=2) = (9/70) / (30/70) = 9/30 = 0.3

·

b)  Ya hemos calculado la distribución para y=0, falta calcularla para y=1,  y=2

Si y = 1 puede ser cualquiera de las 2 manzanas, cualquiera de los 3 plátanos y dos de las tres naranjas.  Las posibilidades son 2·3·C(3,2) = 2·3·2=18

Y la probabilidad condicionada será

P(y=1 | x=2) = (18/70) / (30/70) = 18/30 = 0.6

·

Si y = 2 se toman las dos manzanas solo hay una forma de hacerlo. Como las naranjas se han podido tomar de C(3,2) = 3 formas tendremos

P(y=2 | x=2) = (3/70) / (30/70) = 3/30 = 0.1

Resumiendo:

P(y=0 | x=2) = 0.3

P(y=1 | x=2) = 0.6

P(y=2 | x=2) = 0.1

Que como podemos ver suman 1, buena señal.