Question

Función inversa de esta función

Answer 1

Para simplificar la escritura: p(t) = p

K e^(r t) = p (K/po + e^(r t) - 1 = K p/po + p e^(r t) - p

e^(r t) (K - p) = K p/po - p

e^(r t) = (K p/po - p) / (K - p)

r t = Ln[(K p/po - p) / (K - p)]

Finalmente t = Ln[(K p/po - p) / (K - p)] / r

Saludos Herminio

Answer 2

Para hallar la inversa, debemos despejar a t.

Cambiemos p(t) por x.

$x = \dfrac{K {e}^{rt} }{ \frac{K}{p_o} + {e}^{rt} - 1}$

Podemos pasar lo que está dividiendo del lado derecho a multiplicar al lado izquierdo:

$x( \frac{K}{p_o} + {e}^{rt} - 1) = K {e}^{rt}$

Aplicamos propiedad distributiva:

$\frac{xK}{p_o} + x {e}^{rt} - x = K {e}^{rt}$

Dejamos al lado izquierdo únicamente los términos que contienen a t:

$x {e}^{rt} - K {e}^{rt} = x - \frac{xK}{p_o}$

Factorizamos del lado izquierdo:

${e}^{rt} (x - K) = x - \frac{xK}{p_o}$

Pasamos el factor (x - K) al otro lado a dividir:

${e}^{rt} = \dfrac{x - \frac{xK}{p_o} }{x - K}$

Aplicamos logaritmo natural:

$rt = ln( \dfrac{x - \frac{xK}{p_o} }{x -K} )$

Finalmente, dividimos ambos lados de la ecuación entre r, o lo que es lo mismo, pasamos r al otro lado a dividir:

$t = \dfrac{ ln( \dfrac{x - \frac{xK}{p_o} }{x -K } ) }{r} = {p}^{ - 1} (x)$