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Respuesta dada por:
6
Para simplificar la escritura: p(t) = p
K e^(r t) = p (K/po + e^(r t) - 1 = K p/po + p e^(r t) - p
e^(r t) (K - p) = K p/po - p
e^(r t) = (K p/po - p) / (K - p)
r t = Ln[(K p/po - p) / (K - p)]
Finalmente t = Ln[(K p/po - p) / (K - p)] / r
Saludos Herminio
Respuesta dada por:
10
Para hallar la inversa, debemos despejar a t.
Cambiemos p(t) por x.
![x = \dfrac{K {e}^{rt} }{ \frac{K}{p_o} + {e}^{rt} - 1} x = \dfrac{K {e}^{rt} }{ \frac{K}{p_o} + {e}^{rt} - 1}](https://tex.z-dn.net/?f=x+%3D++%5Cdfrac%7BK+%7Be%7D%5E%7Brt%7D+%7D%7B+%5Cfrac%7BK%7D%7Bp_o%7D++%2B++%7Be%7D%5E%7Brt%7D++-+1%7D+)
Podemos pasar lo que está dividiendo del lado derecho a multiplicar al lado izquierdo:
![x( \frac{K}{p_o} + {e}^{rt} - 1) = K {e}^{rt} x( \frac{K}{p_o} + {e}^{rt} - 1) = K {e}^{rt}](https://tex.z-dn.net/?f=x%28+%5Cfrac%7BK%7D%7Bp_o%7D++%2B++%7Be%7D%5E%7Brt%7D++-+1%29+%3D+K+%7Be%7D%5E%7Brt%7D+)
Aplicamos propiedad distributiva:
![\frac{xK}{p_o} + x {e}^{rt} - x = K {e}^{rt} \frac{xK}{p_o} + x {e}^{rt} - x = K {e}^{rt}](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cfrac%7BxK%7D%7Bp_o%7D++%2B+x+%7Be%7D%5E%7Brt%7D++-+x+%3D+K+%7Be%7D%5E%7Brt%7D+)
Dejamos al lado izquierdo únicamente los términos que contienen a t:
![x {e}^{rt} - K {e}^{rt} = x - \frac{xK}{p_o} x {e}^{rt} - K {e}^{rt} = x - \frac{xK}{p_o}](https://tex.z-dn.net/?f=x+%7Be%7D%5E%7Brt%7D++-+K+%7Be%7D%5E%7Brt%7D++%3D+x+-++%5Cfrac%7BxK%7D%7Bp_o%7D+)
Factorizamos del lado izquierdo:
![{e}^{rt} (x - K) = x - \frac{xK}{p_o} {e}^{rt} (x - K) = x - \frac{xK}{p_o}](https://tex.z-dn.net/?f=+%7Be%7D%5E%7Brt%7D+%28x+-+K%29+%3D+x+-++%5Cfrac%7BxK%7D%7Bp_o%7D+)
Pasamos el factor (x - K) al otro lado a dividir:
![{e}^{rt} = \dfrac{x - \frac{xK}{p_o} }{x - K} {e}^{rt} = \dfrac{x - \frac{xK}{p_o} }{x - K}](https://tex.z-dn.net/?f=+%7Be%7D%5E%7Brt%7D++%3D++%5Cdfrac%7Bx+-++%5Cfrac%7BxK%7D%7Bp_o%7D+%7D%7Bx+-+K%7D+)
Aplicamos logaritmo natural:
![rt = ln( \dfrac{x - \frac{xK}{p_o} }{x -K} ) rt = ln( \dfrac{x - \frac{xK}{p_o} }{x -K} )](https://tex.z-dn.net/?f=rt+%3D++ln%28+%5Cdfrac%7Bx+-++%5Cfrac%7BxK%7D%7Bp_o%7D+%7D%7Bx+-K%7D+%29+)
Finalmente, dividimos ambos lados de la ecuación entre r, o lo que es lo mismo, pasamos r al otro lado a dividir:
![t = \dfrac{ ln( \dfrac{x - \frac{xK}{p_o} }{x -K } ) }{r} = {p}^{ - 1} (x) t = \dfrac{ ln( \dfrac{x - \frac{xK}{p_o} }{x -K } ) }{r} = {p}^{ - 1} (x)](https://tex.z-dn.net/?f=t+%3D++%5Cdfrac%7B+ln%28+%5Cdfrac%7Bx+-++%5Cfrac%7BxK%7D%7Bp_o%7D+%7D%7Bx+-K+%7D+%29+%7D%7Br%7D++%3D+%7Bp%7D%5E%7B+-+1%7D+%28x%29)
Cambiemos p(t) por x.
Podemos pasar lo que está dividiendo del lado derecho a multiplicar al lado izquierdo:
Aplicamos propiedad distributiva:
Dejamos al lado izquierdo únicamente los términos que contienen a t:
Factorizamos del lado izquierdo:
Pasamos el factor (x - K) al otro lado a dividir:
Aplicamos logaritmo natural:
Finalmente, dividimos ambos lados de la ecuación entre r, o lo que es lo mismo, pasamos r al otro lado a dividir:
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