Según la información, la solución de la ecuación diferencial homogénea: 〖y^3+x〗^3 dy/dx=xy^2 dy/dx, corresponde a:
a: y=ce^□(y^2/(2x^2 ))
b: e^(x/y)=cx
c: y=lnx+e^(y^2/2)+c
d: y=e^(y^2/x^2 )+c
Respuestas
RESPUESTA:
Tenemos una ecuación diferencial homogénea tal que:
(y³+x)³ dy/dx=xy² → No es homogénea
Así como esta escrita la ecuación no es para nada homogénea, por tanto presumo que realmente tiene la siguiente forma:
(y³+x³) dy/dx = xy²
Recordemos que en la ecuaciones homogéneas todas las potencias deben ser iguales, verifiquemos:
y³ → potencia 3
x³ → potencia 3
xy² → se suman las potencias 1+2 = 3, potencia 3
Para resolver este tipo de ecuaciones haremos un cambio de variables.
y = ux → dy = xdu + udx
Reescribimos y sustituimos el cambio en nuestra ecuación, tenemos:
(y³ + x³) dy - (xy²) dx = 0
(u³x³ + x³)(xdu + udx) - (x(ux)²) dx = 0
u³x⁴ du + u⁴x³dx + x⁴du + x³u dx - ux³ dx = 0
Simplificamos y tenemos:
u³x⁴ du + u⁴x³dx + x⁴du = 0
Multiplicamos por el factor (1/x⁴u⁴) ya que es una ecuación separable.
1/u · du + 1/x dx + 1/u⁴ du = 0
Ya que esta separada procedemos a integrar:
∫1/u · du + ∫1/x dx + ∫1/u⁴ du = 0
Ln|u| + ln|x| - u⁻³/3 +C = 0
Debemos devolver el cambio sabiendo que u = y/x
Ln|y/x| + ln|x| - (y/x)⁻³/3 +C = 0
ln|y| - x³/3y³ + C = 0
y = e^(x³/3y³) + C → Solución general
NOTA: Verificar si el enunciado no tiene ningún error, de todas manera el proceso es el mismo. Ademas verificar de que lado de la igualdad se encuentra en dy/dx.