Question

El ancho de un rectángulo se incrementa en 2.76 cm/s y el largo en 1.26 cm/s; calcule el incremento del área (en cm2/s) cuando el las dimensiones del rectángulo son 5 cm y 12 cm respectivamente

Answer 1

El ancho de un rectángulo se incrementa en 2.76 cm/s y el largo en 1.26 cm/s; calcule el incremento del área (en cm²/s) cuando el las dimensiones del rectángulo son 5 cm y 12 cm respectivamente.

Hola!!!

Datos:

Largo:  L = 12 cm

ancho:  a = 5 cm

Incremento del Largo: ΔL/Δt = 1,26 cm/s =

Incremento del ancho: Δa/Δt = 2,76 cm/s

Razón de Cambio Rectángulo:

Área del Rectángulo:  A = L × a   ⇒

A' = L' × a'          Derivadas con respecto al tiempo

Derivada de un producto:  L × a' + L' × a

A' = dA/dt  = L × da/dt +  a × dL/dt

dA/dt = 12 × 2,76 + 5 × 1,26

dA/dt = 3,87 cm²/s       ⇒

dA/dt = 3,87 cm²/s    Incremento del Área

Saludos!!!!

Answer 2

El incremento del área del rectángulo, cuando el ancho y el largo son 5 cm y 12 cm respectivamente, es  39.42  cm²/s.

¿Qué es la derivada total?

La derivada total es una función multivariada que, aplicándo la regla de la cadena de derivación, mide la variación de una variable dependiente con respecto a una única variable independiente.

En el caso estudio, la función multivariada objeto de estudio es el área  (A)  de un rectángulo de ancho  (y)  y largo  (x), que varían, ambos, dependiendo del tiempo que transcurre.

A  =  x y

El planteamiento indica que debemos calcular la tasa en que cambia el área en la unidad de tiempo, la función derivada, con respecto a las tasas en que cambian el largo y el ancho.

Para este cálculo, aplicamos el concepto de la derivada total y la técnica de derivación en cadena; entendiendo que si el área depende del tiempo, entonces el ancho y largo también son funciones que dependen del tiempo.

$\bold{\dfrac{dA}{dt}~=~\dfrac{\partial A}{\partial x}\cdot\dfrac{dx}{dt}~+~\dfrac{\partial A}{\partial y}\cdot\dfrac{dy}{dt}}$

Nuestro problema se reduce a calcular las derivadas parciales de la función área, con respecto a ancho y largo, y aplicar la fórmula de derivación en cadena, sustituyendo los valores dados para responder a la situación planteada.

$\bold{\dfrac{\partial A}{\partial x}~=~y}}$

$\bold{\dfrac{\partial A}{\partial y}~=~x}}$

Sustituimos en la derivada total

$\bold{\dfrac{dA}{dt}~=~y\cdot\dfrac{dx}{dt}~+~x\cdot\dfrac{dy}{dt}}$

Para responder la interrogante, sabemos que

$\bold{x~=~12~cm\qquad\dfrac{dx}{dt}~=~1.26~\dfrac{cm}{s} \qquad y~=~5~cm\qquad\dfrac{dy}{dt}~=~2.76~\dfrac{cm}{s}}$

Sustituimos en la derivada total

$\bold{\dfrac{dA}{dt}~=~(5)\cdot(1.26)~+~(12)\cdot(2.76)~=~39.42~\dfrac{cm^2}{s}}$

El incremento del área del rectángulo, cuando el ancho y el largo son 5 cm y 12 cm respectivamente, es  39.42  cm²/s.

Tarea relacionada:

Derivada total del volumen       https://brainly.lat/tarea/45395132