Question

al solucionar la ecuación diferencial (5x+4y)dx+(4x-8y^3 )dy=0 por este método se obtiene que los valores para ∂M/∂y,∂N/∂x y la solución general de la ecuación diferencial son respectivamente:

∂M/∂y=∂N/∂x=5+24y^2

f(x,y)=5/2 x^2+5xy+24y^2

f(x,y)=5/2 x^2+4xy-2y^4

∂M/∂y=∂N/∂x=4

Answer 1

RESPUESTA:

Tenemos una ecuación diferencial, de tal manera que:

(5x+4y)dx+(4x-8y³)dy=0

Donde se tiene la forma:

M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0

• M(x,y) = 5x+4
• N(x,y) = 4x-8y³

Procedemos a obtener las derivadas parciales.

• ∂M(x,y)/dy = 4
• ∂N(x,y)/dx = 4

Observamos que ambas son iguales, por tanto si podemos aplicar el método de exactas.

F(x,y) = ∫M(x,y)dx  + g(y)

F(x,y) = ∫(5x+4y)dx + g(y)

F(x,y) = 5x²/2 + 4yx + C + g(y)

Ahora derivo la expresión respecto a y, tenemos:

dF/dy = 0 + 4x + g'(y)

Por otra parte sabemos que:

dF/dy = 4x-8y³

Por tanto igualamos y tenemos:

0 + 4x + g'(y) = 4x - 8y³

g'(y) = - 4x - 8y³ + 4x

Integramos y tenemos:

g(y) = ∫(-4x - 8y³ + 4x) dy

g(y) = -4xy - 8y⁴/4 + 4xy

g(y) =- 8y⁴/4

Sustituimos y tenemos:

F(x,y) = 5x²/2 + 4yx + C + 8xy - 8y⁴/4

5x²/2 + 12xy - 2y⁴ = C → Solución general