determina el área rectangular máxima que puede encerrarse con 80 metros de cerca. , ayuda por favor
Respuestas
a : ancho
b : largo
2a +2b = 80
a + b = 40
b = 40 - a
Área del rectángulo = ab = máxima.
a(40 - a) = máxima
40a - a² = máxima
Para sacar el área máxima, debemos derivar e igualar a 0 la expresión del área
( 40a - a² )' = 40 - 2a = 0
despejando a
40 - 2a = 0
40 = 2a
a = 20
como a +b = 40
b = 40 - a
b= 40 -20
b = 20
Ancho : a = 20 m
Largo : b = 20 m
El área máxima de un rectángulo siempre será un cuadrado
area maxima = 20 m · 20 m = 400 m²
El área máxima que se puede tener es cuando la región es cuadrada y es igual a 400 m²
¿Cómo resolver el enunciado?
Para resolve debemos plantear la función a máximinar y la restricción pertinente, para llevar a un problema de maximinación de función de una variable se usa la restricción y luego derivamos e igualamos a cero para encontrar los puntos críticos y a traves de la segunda derivada evaluada en el punto determinamos si es máximo o mínimo
Presentación y solución del problema
Max a*b
S.A. 2*(a + b) = 80 metros
→ a + b = 40 metros
→a = 40 metros - b
Sustituimos la restricción en la ecuación a maximizar
(40 m - b)*b = 40b m - b²
Derivamos e igualamos a cero:
40 m - 2b = 0
2b = 40 m
b = 40 m/2
b = 20 metros
La segunda derivada es -2 que es negativa, por lo tanto, es un máximo
a = 40 m - 20 m = 20 m
El área es: 20 m*20 m = 400 m²
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