Un puesto de frutas situado a la vera de un camino vende manzanas a 0.75
la libra, duraznos a $0.90 la libra y peras a $0.60 la libra. Muriel compra 18
libras de fruta a un costo total de $13.80. Sus duraznos y peras juntos
costaron $1.80 más que sus manzanas.
a) Establezca un sistema lineal para hallar el número de libras de
manzanas, duraznos y peras que ella compró.
b) Resuelva el sistema usando la Regla de Cramer.
Respuestas
- Denotemos con las siguientes siglas las variables que intervienen en el problema: X : Libras de manzanas Y: Libras de duraznos Z: Libras de peras T= Libras totales de frutas =18 libras Cm= Costo por libra de las manzanas = 0.75 $/libra Cd= Costo por libra de los duraznos = 0.90 $/libra Cp= Costo por libra de las peras = 0.60 $/libra CT= Costo total de las frutas = 13.80 $ - Las relaciones que se tienen son, libras totales de fruta (T) es igual a las libras de cada tipo de fruta comprado: T = X + Y + Z = 18 libras (1)
- El costo total de las frutas es igual al costo de cada una de las frutas multiplicado por la cantidad en libras comprado de cada uno de ellas: CT = XCm + YCd + ZCp = 13.80$
0.75 X + 0.90Y + 0.60Z = 13.80 $ (2)
- Ahora como los duraznos (Y) y las peras (Z) juntos costaron 1.80 $ más que sus manzanas. Esto significa: (YCd + ZCp) = 1.80 $ +XCm -XCm + YCd + ZCp = 1.80 $
-0.75X + (0.90Y + 0.60Z) = 1.80 $ (3)
- Colocando las ecuaciones (1), (2) y (3) juntas, se tiene los siguientes sistemas de ecuaciones:
X + Y + Z = 18 (1)
0.75X + 0.90Y + 0.60Z = 13.80 (2)
-0.75X + (0.90Y + 0.60Z) = 1.80 (3) En forma matricial, se tiene:
1 1 1 X 18
0.75 0.90 0.60 Y 13.80
-0.75 0.90 0.90 Z 1.80
18 1 1
13.80 0.90 0.60
1.80 0.90 0.60
X = _____________________
1 1 1
0.75 0.90 0.60
-0.75 0.90 0.60
X= (18 x 0.90 x 0.60 + 13.80 x 0.90 x 1 + 1 x 0.60 x 1.80 – 1 x 0.90 x 1.80 – 1 x 13.80 x 0.60 - 0.60 x 0.90 x 18) /(1 x 0.90 x 0.60 + 0.75 x 0.90 x 1 + 1 x 0.60 x (-0.75) – 1 x 0.90 x (-0.75) –0.60 x 0.90 x 1 – 1 x 0.75 x 0.60)
X = (9.72 + 12.42 + 1.08 – 1.62 – 8.28 – 9.72) / (0.54 + 0.675 – 0.45 + 0.675 – 0.54 + 0.45) X = 3.6 / 0.45
X = 8 1 18 1
0.75 13.80 0.60
-0.75 1.80 0.60
Y = _____________________
1 1 1
0.75 0.90 0.60
-0.75 0.90 0.90
Y = (1 x 13.80 x 0.60 + 0.75 x 1.80 x 1 + 18 x 0.60 x (-0.75) – 1 x 13.80 x (-0.75) – 18 x 0.75 x 0.60 – 0.60 x 1.80 x 1) /0.45 Y = (8.28 + 1.35 – 8.1 + 10.35 – 8.1 – 1.08) /0.45
Y = 2.7/0.45 = 6 1 1 18
0.75 0.90 13.80
-0.75 0.90 1.80
Z = _____________________
1 1 1
0.75 0.90 0.60
-0.75 0.90 0.90
Z = (1 x 0.90 x 1.80 + 0.75 x 0.90 x 18 + 1 x 13.80 x (-0.75) – 18 x 0.90 x (-0.75) – 1 x 0.75 x 1.80 – 13.80 x 0.90 x 1)/0.45 Z = (1.62 + 12.15 - 10.35 + 12.15 – 1.35 – 12.42)/0.45 Z = 1.80/0.45 = 4