Question

 Una pelota cae desde cierta altura y rebota ascendiendo los 3/4 de la altura anterior.Después de dar en el suelo por tercera vez,alcanza 54cm.Desde que altura se dejo caer?Calcula la distancia recorrida hasta que se detiene.

Answer 1

Una pelota cae desde cierta altura y rebota ascendiendo los 3/4 de la altura anterior. Después de dar en el suelo por tercera vez, alcanza 54 cm. ¿Desde qué altura se dejó caer? Calcula la distancia recorrida hasta que se detiene.

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Estamos ante una progresión geométrica decreciente, es decir, el valor de los términos va disminuyendo a cada nuevo término.

Del texto podemos deducir lo siguiente:

• El último término de esta PG es la altura alcanzada en el tercer rebote y será el tercer término, es decir, a₃ = 54 cm.
• La razón entre términos consecutivos (el número por el cual se multiplica cada término para obtener el siguiente) es  r = 3/4 = 0,75
• El número de términos sobre el que basamos la PG es 3 puesto que llegamos hasta el tercer rebote, así que  n = 3

La primera pregunta es obtener el valor del primer término  a₁  porque pide la altura desde la que se dejó caer.

Con esos datos nos vamos a la fórmula del término general de cualquier PG donde hay que tener en cuenta que $a_n=a_3$   y sustituyo valores...

$a_n=a_1*r^{n-1}...\ despejando\ \ a_1... \\ \\ \\a_1=\dfrac{a_n}{r^{n-1}} ...\ sustituyendo...\\ \\ \\a_1=\dfrac{54}{0,75^{3-1}}=\dfrac{54}{0,5625} =96\ cm.$

Esto nos dice que el primer rebote alcanzó una altura de 96 cm. pero no es la solución definitiva porque nos pide la altura desde la que se dejó caer y sabemos que al rebotar alcanzó 96 cm.

Así pues, 96 cm. son los 3/4 de la altura desde la que se dejó caer y para saberlo sólo hay que dividir entre el numerador y multiplicar por el denominador, con ello sabremos el valor de los 4/4 que es la altura inicial:       96 : 3 = 32 ... 32×4 = 128 cm. es la respuesta a la 1ª pregunta.

Para saber la respuesta a la 2ª cuestión hay que sumar todas las distancias recorridas (tanto al bajar al suelo como al rebotar hacia arriba) hasta que deja de botar, es decir, hasta que el último término de la PG es cero, es decir,  $a_n=0$

Se acude a la fórmula que nos calcula la suma de términos de las PG.

$S_n=\dfrac{a_n*r\ -a_1}{r-1} =\dfrac{0*0,75\ -96}{0,75-1} =\dfrac{-96}{-0,25} =384$

Esto nos dice la suma de todas las distancias alcanzadas al subir en los rebotes ya que aquí no está contabilizada la distancia inicial (la altura desde la que se dejó caer) porque no forma parte de la progresión. Esa distancia inicial habrá que sumarla.

Y también habrá que contar con que en cada rebote, la pelota SUBE y BAJA la misma distancia, es decir que hay que duplicar la suma calculada anteriormente, de tal modo que el recorrido total que nos pide la 2ª pregunta se obtiene de esta operación:

128 + (384×2) = 896 cm. es la respuesta.

Saludos.