Question

Dada la ecuación en su forma general de una elipse: 4x2 + 2y2 - 8x + 4y – 2 = 0 Transfórmala a su forma ordinaria, obtén todos sus elementos y realiza la gráfica que la representa.

Answer 1

⭐Tenemos como cónica una elipse si se presentan en la ecuación dos variables cuadráticas de diferente coeficiente y sumándose, siguiendo la forma:

$\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}} =1$

Con centro: (h, k)

Tenemos la expresión:

4x² + 2y² - 8x + 4y - 2 = 0

Agrupamos las x e y:

(4x² - 8x) + (2y² + 4y) = 2

Dejamos los términos cuadráticos de forma lineal (coeficiente 1):

4(x² - 2x) + 2(y² + 2y) = 2

Completaremos cuadrados:

4(x² - 2x + 1 - 1) + 2(y² + 2y + 1 - 1) = 2

4(x - 1)² - 4 + 2(y + 1)² - 2 = 2

4(x - 1)² + 2(y + 1)² = 8

Dividimos todo entre 8:

$\frac{4(x-1)^{2}}{8}   +\frac{2(y+1)^{2}}{8} =\frac{8}{8}$

$\frac{(x-1)^{2}}{2}   +\frac{(y+1)^{2}}{4} =1$

$\frac{(x-1)^{2}}{(\sqrt{2})^{2}}   +\frac{(y+1)^{2}}{2^{2}} =1$

Elipse con centro: (h,k) → (1,-1)

a: √2

b = √4 = 2

Se tiene que c:

c² = 2² - √2²

c² = 2

c = √2

Para los VÉRTICES, se cumple que:

Vértice 1: (h, k + b) → (1, -1 + 2) → (1, 1)

Vértice 2: (h, k - b) → (1, -1 -2) → (1, -3)

Para los FOCOS, se cumple que:

Foco 1: (h, k + c) → (1, -1 + √2)

Foco 2: (h, k - c) → (1, -1 - √2)