En el centro de una elipse está en el punto P (2, -4) y el vértice y el foco de un mismo lado del centro son los puntos (-2, -4) y (-1, -4) respectivamente.
Hallar la ecuación de la elipse, su excentricidad, la longitud de su eje mayor y la de cada lado recto.
Respuestas
Según la ubicación de los puntos en el plano cartesiano, el eje mayor de la elipse está sobre el el eje de las X.
Datos:
C = P = (2, -4) - Centro de la elipse
Vi = (-2,-4) - Vértice izquierdo
Fi = (-1, -4) - Foco izquierdo
Hallar la ecuación de la elipse, su excentricidad, la longitud de su eje mayor y la de cada Lado Recto.
Ecuación de la Elipse:
La ecuación de una elipse con su eje mayor en el eje de las X se representa como:
x² / a² + y² / b² = 1;
donde a es la longitud del semieje mayor y b la longitud del semieje menor.
Determinación de los parámetros a y b:
a = C - Vi = 2 - (-2) = 2 + 2 = 4 ∴ a = 4
b = √ (a² - c²);
donde c es la distancia entre el foco y el centro de la elipse.
c = C - F = 2 - ( - 1) = 2 + 1 = 3 ∴ c = 3
De esta manera,
b = √(4² - 3²) = √16 -9 = √7 ∴ b = √7
Así la ecuación de la elipse se expresa como:
x² / 4² + y² / (√7)² = 1 ∴ x² / 16 + y² / 7 = 1
Longitud del Eje Mayor (LEM):
LEM = 2(C - Vi) = 2*(2-(-2)) = 2*4 = 8 ∴ LEM = 8
Excentricidad:
La excentricidad ε de la elipse se define como:
ε = c / a ∴ ε = 3/ 4
Lado Recto:
El lado recto LR, es el segmento de recta perpendicular a los vértices cuya longitud se define por la ecuación:
LR = 2b² / a ⇒ LR = 2(√7)² / 4 = 2*7 /4 = 7/2 ∴ LR = 7/2
A tu orden...
Explicación paso a paso:
El centro de una elipse es el punto (2,-4) y el vértice es el punto