Question

Encuentre la antiderivada más general de las siguientes funciones, compruebe su respuesta mediante la derivación y Grafique en Geogebra la función y una de sus antiderivadas.

1. f(x)= -Cosc(x) Cot(x) + 3cosc^2 x + 3/√(1-x^2 )

Answer 1

RESPUESTA:

Para resolver este ejercicio procedemos a integrar la expresión:

f(x) = -Cosc(x)Cot(x) + 3cosc²(x) + 3/√(1-x²)

F(x) = ∫-Cosc(x)Cot(x) + 3cosc²(x) + 3/√(1-x²) dx

Procedemos a separar en tres integrales:

F(x) = ∫-Cosc(x)Cot(x) dx +∫ 3cosc²(x) dx + ∫3/√(1-x²) dx

Ahora procederemos a resolver cada integral por separado, tenemos:

A = ∫-Cosc(x)Cot(x) dx

Aplicamos identidades, cosc(x) = 1/sen(x) y cot(x) = cos(x)/sen(x)

A = ∫-cos(x)/sen²(x) dx

Tenemos que d(senx) = cosx dx, entonces:

A = ∫-1/sen²x · d(senx)

A = 1/sen(x) + C

Derivamos a A para ver si esta correcta:

A' = (1/sen(x))'

A' = -Cos(x)/Sen²(x)  → Es correcta

Procedemos a calcular la segunda derivada.

B = ∫ 3cosc²(x) dx  

Integral inmediata. Ver tabla adjunta.

B = -3cosc²(x) + C

Fue sacada directo de tabla no es necesario verificar.

última integral.

C = ∫3/√(1-x²) dx

Otra integral inmediata. Ver tabla adjunta.

C = -3Arccos(x) + C

Fue sacada directo de tabla no hace falta verificar.

Ahora F(x) será:

F(x) = 1/sen(x) -3cosc²(x) -3Arccos(x) + C

Debido a que cada integral se verifico por separado entonces no hace falta verificar la suma.

La gráfica es demasiada complicada para realizarla. Sin embargo haremos gráficas separadas.