Respuestas
Para descomponer un polinomio en factores hay que seguir el siguiente procedimiento y realizar en este orden, si es posible, cada uno de estos pasos:
Sacar factor común, si es posible
Si no es posible sacar factor común, hay que identificar si es un producto notable y si lo es, escribir el polinomio como un producto notable en su forma sin desarrollar.
Si no es posible realizar dos pasos anteriores, entonces descomponer por la regla de Ruffini. Éste es el último recurso al que tienes que recurrir cuando quieras descomponer una ecuación, ya que es el menos directo de todos.
Por otro lado, para descomponer un polinomio de grado 2, siempre y cuando no sea un producto notable, el camino más rápido es igualando el polinomio a cero y obteniendo sus raíces.
Después, obtendremos binomios de la forma (x-a) correspondiente a cada raíz y expresaremos el polinomio de segundo grado como el producto de los dos binomios.
En el Curso de Polinomios tienes desarrollados ejemplos tanto de cómo obtener factor común, como de productos notables y de la regla de Ruffini. Por lo que si necesitas ayuda en estos temas, te recomiendo que lo hagas sin dudar. También tienes muchos ejercicios propuestos con la solución paso a paso.
Ejercicios resueltos de descomposición de polinomios
Vamos a ver más detalladamente cómo aplicar cada uno de estos pasos para descomponer un polinomio en factores en los siguientes ejercicios resueltos.
Te iré explicando paso a paso como descomponiendo los siguientes polinomios.
Ejercicio resuelto 1
como descomponer polinomios
Empezamos comprobando si es posible obtener factor común: ¿se puede sacar factor común?
Sí, se puede sacar factor común una x:
descomponer polinomios en factores
Seguimos descomponiendo el polinomios de grado dos. Tal y como hemos visto antes, lo podemos expresar como una diferencia de cuadrados:
descomposicion factorial de polinomios
Y aplicar la fórmula de suma por diferencia:
El el polinomio quedaría factorizado.
Ejercicio resuelto 2
factorizacion de polinomios ejercicios resueltos paso a paso
¿Se puede sacar factor común? Sí, podemos sacar factor común a x²
descomposición de un polinomio en factores
Ahora nos fijamos en el paréntesis, en el que tenemos una resta de dos términos, ¿la podemos convertir en una esta de cuadrados?
Sí, porque x elevada a 4 el es cuadrado de x al cuadrado y 1 al cuadrado es igual a 1:
descomponer un polinomio
Aplicamos la fórmula de suma por diferencia:
descomposicion de un polinomio
Y ahora en el primer paréntesis no podemos hacer nada más, ya que se trata de un polinomio irreducible (lo puedes comprobar tratando de obtener sus raíces), pero en el tercer paréntesis volvemos a tener una resta de cuadrados, por lo que volvemos a aplicar la fórmula de suma por diferencia:
descomponer en factores un polinomio
Quedando totalmente factorizado.
Ejercicio resuelto 3
descomposicion de polinomios
¿Podemos sacar factor común? Sí, podemos sacar como factor común una x:
factores primos de un polinomio ejercicios resueltos
En el paréntesis nos ha quedado un polinomio de segundo grado que lo factorizaremos obteniendo sus raíces. Para ello igualamos el polinomio igual a cero:
ejercicios de descomposicion factorial de polinomios
Y obtenemos sus soluciones, que corresponden a las raíces del polinomio:
descomponer en factores ejercicios resueltos
A cada raíz le corresponde un binomio de la forma (x-a):
descomposición de polinomios en factores
Por lo que expresamos el polinomio de segundo grado como el producto de esos dos binomios, dejando el polinomio inicial factorizado:
descomposición de polinomios
Ejercicio resuelto 4
descomponer un polinomio en factores
En este caso no podemos sacar factor común ni tampoco identificar ningún producto notable, por lo que factorizamos por Ruffini.
El término independiente es un 6, por lo que tendremos que probar con los siguientes números: 1,-1, 2, -2, 3 y -3.
Nos queda: