Don Pedro es el dueño de un hotel de 60 habitaciones y sabe que si el precio del alquiler es de $200.00 se rentan todas las habitaciones. Pero también sabe que si aumenta el precio tendrá una habitación vacía por cada $5.00 de aumento en el precio.
a) ¿Cuál es el precio óptimo por habitación para que la utilidad sea máxima?
b) ¿Cuántas habitaciones quedarán vacías?
c) Bosqueja la gráfica y señala en ella la parte de la misma que corresponde a la realidad que se analiza.
Respuestas
Variables: Llamemos P al precio de la habitación, y x al Número de habitaciones alquiladas, la utilidad será igual a:
Y= P*x
Además:
si P= 200 entonces x= 60
si P= 205 entonces x= 59
si P = 210 entonces x= 58
Entonces:
x= 60-(P-200)/5
Y= P*(60-(P-200)/5)
Y= 60P- P²/5+40P = - P²/5+100P
Hallamos la primera derivada
Y’ = -2P/5+100
Igualamos a cero:
-2P/5+100 = 0
-2P/5= -100
-2P= -100*5 = -500
P = 500/2 = 250.
Entonces un punto critico es P= 250.
Encontramos la segunda derivada:
Y’’= -2/5 < 0
Como la segunda derivada es negativa por criterio de la segunda derivada el punto critico es un máximo. Por lo tanto para que la utilidad sea máxima el precio P debe ser igual a $250 en este caso se alquilaran:
x= 60-(250-200)/5= 60-10 = 50 habitaciones
y la utilidad será:
Y= $250*50
Y= $12500
Para graficar, vemos intersección con P (Y= 0)
0 = - P²/5+100P
P= 0 ó
-P/5+100 = 0
P/5= 100
P= 500
Puntos: (500,0) y (0,0)
Intersección con y (P= 0)
Y= - 0²/5+100*0 = 0
Punto: (0,0)
En la imagen se observa el bosquejo de la gráfica de Y y el máximo de la misma.
