hallar el volumen de un prisma triangular cuyos lados de la base miden 4, 5 y 6 m respectivamente y subaltura es igual al radio de la circunferencia circunscrita a la base
Respuestas
Dada las dimensiones de la base del prisma triangular, se podría decir que adicionalmente es un prisma irregular, dado que su base tiene la forma de un triángulo oblicuo.
El volumen de un prisma triangular irregular, Vp, viene expresada por la ecuación:
Vp = Ab . h; ( 1 ) donde Ab = área de la base triangular oblicua y h es la altura del prisma.
Por indicaciones en el enunciado, la altura h tiene un valor igual al radio de la circunferencia que circunscribe a la base triangular oblicua.
Comencemos entonces la solución del problema calculando la altura h del prisma a partir de la obtención del radio R del círculo circunscrito a la base.
Inicialmente, identifiquemos al triángulo oblicuo para proceder al cálculo de su área.
Sea el triángulo oblicuo, con los vértices ABC, con los ángulos correspondientes a, b y c. Las dimensiones de los lados del triángulo son:
AB = 5 m;
BC = 4 m;
CA= 6 m.
Se sabe el que el radio de un círculo circunscrito a un triángulo está asociado al Teorema del Seno por la ecuación:
2R = AB/ sen c = BC/sen a = CA/sen b (2)
Ya se conocen los valores de los numeradores, por lo que solo hace falta conocer cualesquiera de los ángulos a, b o c, para quede resuelto el valor de R.
Aplicando el Teorema del Coseno, se determina por ejemplo, el ángulo c.
AB² = BC² + CA² - 2.BC.CA.cos c
cos c = (BC² + CA² - AB²)/2.BC.CA = (4² + 6² - 5²)/2.4.6 = 27/48
⇒ cos c = 27/48 c = cos ⁻¹ (27/48) ∴ c = 55,77°
Se procede a calcular el radio R de la circunferencia circunscrita. De la ec. (2) se tiene que:
2R = AB / sen c; 2R = 5/sen 55,77° ⇒ R = 2,5 / sen 55,77° = 3,02 m
∴ R = 3,02 m
Entonces la altura H del prisma será H = 3,02 m.
Se continúa, con la determinación del área At, del triángulo oblicuo, la base del prisma.
Del triángulo anteriormente descrito, su altura h, es el segmento que va desde el vértice B hasta el segmento opuesto CA, formando un ángulo de 90° con este segmento. De esta manera la altura h se determina como:
sen c = h / BC ⇒ h = BC . sen c = 4.sen 55,77° = 4 . 0,827 = 3, 31 m
∴ h = 3,31 m; altura del triángulo oblicuo, base del prisma
Ahora, teniendo h, se calcula el área de un triángulo oblicuo, At, con base CA y altura h:
At = 1/2CA.h = 1/2 . 6 . 3,31 = 9,93 ∴ At = 9,93 m²
Al conocerse el área de la base del prisma At, y su altura H, el volumen del prisma Vp, de acuerdo con la ecuación ( 1 ) es:
Vp = At . H = 9,93 * 3,31 = 32,87 m³ ∴ Vp = 32,87 m³
Entonces el volumen del prisma triangular irregular es 32,87 m³.
A tu orden...
Respuesta
Explicación paso a paso:
Lo hice de otra manera
