Question

hallar la ecuación de la circunferencia que tiene por diametro el segmento P (-3,8) Q(5,-4)

Answer 1

hallemos las coordenadas del centro del segmento.

$x = \frac{x + x}{2} \\ \\ x = \frac{ - 3 + 5}{2} \\ \\ x = \frac{2}{2} \\ \\ x = 1$
$y = \frac{y + y}{2} \\ \\ y = \frac{8 + ( - 4)}{2} \\ \\ y = \frac{8 - 4}{2} \\ \\ y = \frac{4}{2} \\ \\ y = 2$
las coordenadas del centro del segmento, corresponde a las coordenadas del centro de la circunferencia. ( 1, 2 )

como el radio es la mitad del diámetro entonces medimos desde cualquiera de los puntos extremos al punto medio, aplicando fórmula "distancia entre dos puntos" nosotros tomaremos. ( 1, 2 ) ( -3, 8 )

$d = \sqrt{ {(x - x)}^{2} } + {(y - y)}^{2} \\ d = \sqrt{ {( - 3 - 1)}^{2} } + {(8 - 2)}^{2} \\ d = \sqrt{ { ( - 4)}^{2} } + {(6)}^{2} \\ d = \sqrt{16 + 36} \\ d = \sqrt{52} \\ d = 7.21$
el valor del radio (r) es 7.21.
como ya conocemos el centro y el radio podemos remplazar en la ecuación

( x - h )^2 + ( y - k )^2 = r^2
( x - 1 )^2 + ( y - 2 )^2 = 7.21^2

ecuación ordinaria de la circunferencia
( x - 1 )^2 + ( y - k )^2 = 52

la ecuación general de la circunferencia es
x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0

en dónde
D = -2 h = -2(1) = -2
E = -2 k = -2(2) = -4
F = r^2 =. 7,21 ^2 = 52
remplazamos

x^2 + y^2 -2x -4y + 46 = 0