Question

Una de las aplicaciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden es la solución de problemas de crecimiento, supóngase que un estudiante de la UNAD es portador del virus de la gripe y teniendo en cuenta ello, va al CEAD de Medellín donde hay 5000 estudiantes. Si se supone que la razón con la que se propaga el virus es proporcional no solo a la cantidad de infectados sin también a la cantidad de no infectados. Plantee la ecuación diferencial a desarrollar y determine la cantidad de estudiantes infectados a los 6 días después, si se observa que a los 4 días la cantidad de infectados era de 50.

Answer 1

RESPUESTA:

Planteamos nuestra ecuación diferencial de tal manera que:

dI/dt = k·I·(5000-I)

• I: infectados
• 5000-I = no infectados
• t = tiempo
• k = constante de proporcionalidad

Separamos y tenemos:

dI/I·(5000-I) = k·dt

Integramos:

∫dI/I·(5000-I) = ∫k·dt

1/5000 · [ln(I) - ln(5000-I)] = k·t + C

I/(5000-I) = Ce^(5000kt) → Ecuación base

Buscamos los valores de C y k, sabemos que:

• t = 0 días ----------> 1 infectado
• t = 4días ----------> 50 infectados

Sustituimos las condiciones en la ecuación base:

→ 1/(5000-1) = Ce^(5000k(0)) ∴ C = 1/4999

→ 50/(5000-50) = 1/4999 · e^(5000k(4))  ∴ ln(4999/99) = 20000k ∴ k = 1.96x10⁻⁴

Entonces nuestra ecuación diferencial será:

I/5000-I = 1/4999 · e^(0.980468t)  → Ecuación final

Si t = 6 días, entonces usamos nuestra ecuación final:

I/5000-I = 1/4999 · e^(0.980468·(6))

I/5000-I = 0.07177743

x = 334.85 ≈ 335 infectados

Por tanto, a los 6 días se tendrá aproximadamente 335 infectados.