Sea f una función definida en los reales, con una antiderivada F, entonces su antiderivada general será G, tal que: G(x)=F(x)+C, para C=Constante, además f(x)=F^' (x)=G'(x).
Cada ejercicio se debe resolver paso por paso, sin omitir ninguno, cuando se utilice una propiedad, definición o ley por favor enunciarla, así se fortalece el procedimiento utilizado.
Primera parte (punto 1 al 4)
Encuentre la antiderivada más general de las siguientes funciones, compruebe su respuesta mediante la derivación y
Grafique en Geogebra la función y una de sus antiderivadas.
1. f(x)=-Cosc(x)Cot(x)+3〖cosc〗^2 x+3/√(1-x^2 )
Respuestas
RESPUESTA:
Para resolver este ejercicio procedemos a integrar la expresión:
f(x) = -Cosc(x)Cot(x) + 3cosc²(x) + 3/√(1-x²)
F(x) = ∫-Cosc(x)Cot(x) + 3cosc²(x) + 3/√(1-x²) dx
Procedemos a separar en tres integrales:
F(x) = ∫-Cosc(x)Cot(x) dx +∫ 3cosc²(x) dx + ∫3/√(1-x²) dx
Ahora procederemos a resolver cada integral por separado, tenemos:
A = ∫-Cosc(x)Cot(x) dx
Aplicamos identidades, cosc(x) = 1/sen(x) y cot(x) = cos(x)/sen(x)
A = ∫-cos(x)/sen²(x) dx
Tenemos que d(senx) = cosx dx, entonces:
A = ∫-1/sen²x · d(senx)
A = 1/sen(x) + C
Derivamos a A para ver si esta correcta:
A' = (1/sen(x))'
A' = -Cos(x)/Sen²(x) → Es correcta
Procedemos a calcular la segunda derivada.
B = ∫ 3cosc²(x) dx
Integral inmediata. Ver tabla adjunta.
B = -3cosc²(x) + C
Fue sacada directo de tabla no es necesario verificar.
última integral.
C = ∫3/√(1-x²) dx
Otra integral inmediata. Ver tabla adjunta.
C = -3Arccos(x) + C
Fue sacada directo de tabla no hace falta verificar.
Ahora F(x) será:
F(x) = 1/sen(x) -3cosc²(x) -3Arccos(x) + C
Debido a que cada integral se verifico por separado entonces no hace falta verificar la suma.
La gráfica es demasiada complicada para realizarla. Sin embargo haremos gráficas separadas.
