Respuestas
Sea una función de dos variables z = f(x, y), se definen las derivadas parciales
(Una definición obvia si la comparamos con la derivada de una función de una variable)
Para la derivada de z "respecto de x" consideramos a la variable "y" como si fuera una constante, mientras que al hacer la derivada de z "respecto de y" consideramos a la variable "x" como si fuera constante.
Veamos, como ejemplo, las dos derivadas parciales de la función: devv2.gif (119 bytes) :
Para ello recordemos que la derivada de la función z = eu es: z’ = u’ . eu , siendo u en nuestro caso: x2 + y2 , entonces la derivada de u respecto x es 2x (con la y constante), mientras que la derivada de u respecto y es 2y (con la x constante). Así tenemos:
devv3.gif (426 bytes)
Otras formas de expresar la derivada de la función z = f(x,y) con respecto a x son:
devv4.gif (215 bytes)
mientras que para expresar la derivada de la función z = f(x,y) con respecto a y :
devv5.gif (223 bytes)
Esta definición de derivada se extiende a funciones de tres o más variables, por ejemplo, para una función de tres variables w = f(x,y,z) sus tres derivadas parciales son:
devv6.gif (530 bytes)
devv7.gif (544 bytes)
devv8.gif (520 bytes)
en cada una de ellas se consideran constantes los dos parametros distintos a los que se realiza la derivada.
10B.2 Diferencial de una función de varias variables.
Sea una función de dos variables z = f(x, y), se define la diferencial de esta función como:
devv9.gif (332 bytes)
Geométricamente hay que interpretar las diferenciales como "incrementos infinitesimales".
Como ejemplo, expresemos la diferencial de la función: devv2.gif (119 bytes) , ya que hemos realizado anteriormente las dos derivadas parciales:
devva.gif (347 bytes)
Tanto en las derivadas como en las diferenciales, se suele hablar de valores en un punto P(a, b), para ello se sustituye en ellas el valor de x por a, y el valor de y por b. Por ejemplo, las derivadas y la diferencial en el punto P(1, 2) se calculan sustituyendo x=1, y=2.
Para la función devv2.gif (119 bytes) las derivadas en el punto P(1, 2) son:
devvb.gif (558 bytes)
y la diferencial en ese punto:
devvc.gif (310 bytes)
10B.3 Derivadas parciales de segundo orden.
Sea una función de dos variables z = f(x, y). En principio tenemos cuatro (22) derivadas de segundo orden:
devvd.gif (480 bytes)
(se debe leer "derivada segunda de z respecto de x dos veces", "derivada segunda de z respecto de x-y", etc.)
Estas derivadas vienen definidas de la siguiente manera:
devve.gif (1295 bytes)
Se trata de derivar respecto de x la derivada devvf.gif (109 bytes).
Se trata de derivar respecto a x la derivada devvg.gif (110 bytes).
Se trata de derivar respecto a y la derivada devvf.gif (109 bytes).
Se trata de derivar respecto a y la derivada devvg.gif (110 bytes).
Siguiendo con nuestro ejemplo, calculemos estas derivadas para la función devv2.gif (119 bytes):
devvh.gif (1153 bytes)
Las derivadas devvi.gif (285 bytes) son llamadas "derivadas mixtas", obsérvese en el ejemplo cómo estas derivadas son iguales, lo cual no es una coincidencia sino el resultado de un teorema que vamos a pasar a ver.
10B.4 Teorema de Schwarz relativo a las derivadas mixtas.
Sea un punto P(a, b) en el que la función z = f(x, y) se encuentre definida. El teorema de Schwarz dice: "Es suficiente que las derivadas existan en una cierta bola del punto P, y que la derivada segunda de f con respecto a xy sea continua en este punto, para que tengamos:
es decir, que las derivadas mixtas sean iguales en los puntos de esa bola".
En general, las condiciones de este teorema se cumplen (salvo para algunos puntos excepcionales), por lo que nosotros siempre consideraremos iguales a estas derivadas cruzadas.
A veces, es conveniente expresar las derivadas segundas de z=f(x,y) como una matriz 22 :
En este caso los elementos que se encuentren en posición simétrica respecto a la diagonal principal son iguales. En otras palabras, estas matrices son simétricas. Para el caso de una función de tres variables w = f(x, y, z), el número de derivadas segundas es 9 , esto es (32), que las podríamos expresar así:
coincidiendo cada pareja situada en posición simétrica (respecto de la diagonal principal).
ejempos:
